[논문 리뷰] Gersten weight structures for motivic homotopy categories; direct summands of cohomology of function fields and coniveau spectral sequences

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 29.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 48인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 모티브 프로스펙트라의 범주 $\mathfrak{D}$ 에서 새로 구성된 게르스텐 무게 구조를 사용하여, 모티브 호모토피 범주 $SH^{S^1}(k)$ 에 값을 갖는 공호모로지 이론의 콘비외우스 스펙트럴 시퀀스에 대해 $SH^{S^1}(k)$-함수적 성질을 확립한다. 주요 기여는 약한 평탄한 준지역 스킴과 원시 스킴의 코호몰로지가 그들의 열린 밀도 부분스킴의 코호몰로지의 직접 합성분임을 증명하는 것으로, 기존의 블로흐-오구스 스펙트럴 시퀀스를 모티브 스펙트럼으로 일반화한다.

ABSTRACT

For any cohomology theory $H$ that can be factorized through (the Morel-Voevodsky's triangulated motivic homotopy category) $SH^{S^1}(k)$ (or through $SH(k)$) we establish the $SH^{S^1}(k)$-functorialty (resp. $SH(k)$-one) of coniveau spectral sequences for $H$. We also prove: for any affine essentially smooth semi-local $S$ the Cousin complex for $H^*(S)$ splits; if $H$ also factorizes through $SH^+(k)$ or $SH^{MGL}(k)$, then this is also true for any primitive $S$. Moreover, the cohomology of such an $S$ is a direct summand of the cohomology of any its open dense subscheme. This is a vast generalization of the results of a previous paper. In order to prove these results we consider certain categories of motivic pro-spectra, and introduce Gersten weight structures for them. Our results rely on several interesting statements on weight structures in cocompactly cogenerated triangulated categories and on the '$SH^+(k)$-acyclity' of primitive schemes. .

연구 동기 및 목표

• 이전에 연구된 바 없는 다수의 공호모로지 이론과 함께 임의의 완전체에 대해 콘비외우스 스펙트럴 시퀀스의 함수적 성질과 분해 성질을 확장한다.
• 모티브 호모토피 범주에서 준지역 및 원시 스킴의 코호몰로지에 대해 함수적 성질과 직접 합성분 결과의 부족을 해결한다.
• 모티브 프로스펙트라의 삼각 범주 $\mathfrak{D}$ 를 구성하여 $SH^{S^1}(k)^c$ 와 함수체의 프로스펙트라를 포함함으로써 무게 구조의 연구를 가능하게 한다.
• 게르스텐 무게 구조와 관련된 무게 스펙트럴 시퀀스를 통해 고전적 블로흐-오구스 콘비외우스 스펙트럴 시퀀스를 $SH^{S^1}(k)^c$ 의 임의의 대상으로 일반화한다.
• 프로스펙트라와 쌍대성을 사용하여 함수체와 그 잔여체의 코호몰로지가 열린 부분스킴의 코호몰로지에 직접 합성분으로 나타남을 증명한다.

제안 방법

• 함수체의 프로스펙트라와 $SH^{S^1}(k)^c$ 를 포함하는 모티브 프로스펙트라의 삼각 범주 $\mathfrak{D}$ 를 구성하고, 다양한 모티브 범주에 대응하는 $\mathfrak{D}^T$, $\mathfrak{D}^+$, $\mathfrak{D}^{MGl}$ 을 정의한다.
• 삼각 범주에서 코컴팩트하게 생성된 범주에 대한 새로운 구성법을 사용하여, 호모토피 $t$-구조와 수직인 게르스텐 무게 구조 $w$ 를 $\mathfrak{D}$ 에 도입한다.
• 부분스킴의 포인트들에 대한 트위스트된 프로스펙트라로 부드러운 다양체의 $SH^{S^1}(k)$-스펙트럼을 분해한다. 이 트위스트된 프로스펙트라들은 $w$ 의 하트에 속한다.
• 무게 스펙트럴 시퀀스를 사용하여, $SH^{S^1}(k)^c$ 의 임의의 대상의 코호몰로지에 대해 고전적 콘비외우스 스펙트럴 시퀀스를 일반화하고, 이를 representing 객체의 호모토피 $t$-단절에 따라 표현한다.
• 함수체의 프로스펙트라와 쌍대성을 사용하여, 약한 평탄한 준지역 스킴 $S$ 에 대해 $H^*(S)$ 의 쿠신 컴플렉스가 분해되며, 임의의 열린 밀도 부분스킴 $U \subset S$ 에 대해 $H^*(S)$ 가 $H^*(U)$ 의 직접 합성분임을 증명한다. 이는 $H$ 가 $SH^{S^1}(k)$ 를 통과할 경우 성립한다.
• 코호몰로지 이론이 $SH(k)$, $SH^+(k)$, 또는 $SH^{MGl}(k)$ 를 통과할 경우, 콘비외우스 필터링과 스펙트럴 시퀀스의 $SH(k)$-, $SH^+(k)$-, $SH^{MGl}(k)$-함수적 성질을 증명함으로써, 직접 합성분 성질과 스펙트럴 시퀀스 성질이 유전됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 완전체에 대해 $SH^{S^1}(k)$ 를 통과하는 공호모로지 이론의 콘비외우스 스펙트럴 시퀀스가 모티브 호모토피 범주에서 함수적일 수 있는가?
• RQ2 약한 평탄한 준지역 스킴과 원시 스킴의 코호몰로지 그룹은 그들의 열린 밀도 부분스킴의 코호몰로지의 직접 합성분으로 분해되는가?
• RQ3 모티브 프로스펙트라의 범주에 대한 무게 구조를 통해 고전적 블로흐-오구스 콘비외우스 스펙트럴 시퀀스를 $SH^{S^1}(k)^c$ 의 임의의 대상으로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 범주 $\mathfrak{D}$ 에서의 게르스텐 무게 구조가 모티브 스펙트럼의 코호몰로지와 스펙트럴 시퀀스의 구조를 어떻게 통제하는가?
• RQ5 함수체의 프로스펙트라와 그 잔여체의 프로스펙트라가 $\mathfrak{D}$ 내에서 어떻게 관련되어 있으며, 이들의 직접 합성분 성질은 코호몰로지에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 $SH^{S^1}(k)$ 를 통과하는 공호모로지 이론에 대해 콘비외우스 스펙트럴 시퀀스는 $SH^{S^1}(k)$-함수적 성질을 갖는다. 이는 블로흐-오구스 결과를 모티브 스펙트럼으로 일반화한다.
• 모든 약한 평탄한 준지역 스킴 $S$ 에 대해 $H^*(S)$ 의 쿠신 컴플렉스는 분해되며, $H$ 가 $SH^{S^1}(k)$ 를 통과할 경우, 임의의 열린 밀도 부분스킴 $U \subset S$ 에 대해 $H^*(S)$ 는 $H^*(U)$ 의 직접 합성분이다.
• 만약 $H$ 가 $SH^+(k)$ 또는 $SH^{MGl}(k)$ 를 통과한다면, 동일한 직접 합성분 성질은 준지역 스킴 외에도 임의의 원시 스킴 $S$ 에 대해서도 성립한다.
• 범주 $\mathfrak{D}$ 내의 함수체의 프로스펙트라는 그들의 잔여체(모든 기하적 평탄성에 대해)에 대한 트위스트된 프로스펙트라를 포함하므로, 이러한 체의 코호몰로지는 그 체의 코호몰로지의 직접 합성분이다.
• 게르스텐 무게 구조에 관련된 무게 스펙트럴 시퀀스는 고전적 콘비외우스 스펙트럴 시퀀스를 일반화하며, $SH^{S^1}(k)$ 내의 representing 객체의 호모토피 $t$-단절에 의해 표현된다.
• 결과는 $SH(k)$, $SH^+(k)$, 또는 $SH^{MGl}(k)$ 를 통과하는 코호몰로지 이론로까지 확장되며, 기저 체에 적절한 조건이 있을 경우 $K$-이론, 대수적 코버드리즘, 복소수 $K$-이론, 윌트 코호몰로지 등에도 적용된다.