[논문 리뷰] Global classical solution to 3D isentropic compressible Navier-Stokes equations with large initial data and vacuum

Xiaofeng Hou, Hongyun Peng외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 10.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 압축성의 3차원 등온 압축성 라우지에르-스토크스 방정식에 대해, 초기 에너지가 크고 진공이 존재하는 조건에서, 등온 지수 γ가 1에 가까운 경우 또는 점도 μ가 큰 경우에 전역 고전적 해의 존재를 확립한다. 핵심 결과는 초기 에너지가 크더라도 (γ−1), 원거리 밀도 ρ̃, 점도 μ의 특정 조합이 충분히 작을 경우 전역 해가 존재한다는 것이다. 이는 3차원에서 초기 에너지가 크고 진공이 존재하는 경우에 전례 없는 결과이다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the existence of a global classical solution to 3D Cauchy problem of the isentropic compressible Navier-Stokes equations with large initial data and vacuum. Precisely, when the far-field density is vacuum ($\widetildeρ=0$), we get the global classical solution under the assumption that $(γ-1)^\frac{1}{3}E_0μ^{-1}$ is suitably small. In the case that the far-field density is away from vacuum ($\widetildeρ>0$), the global classical solution is also obtained when $\left((γ-1)^\frac{1}{36}+\widetildeρ^\frac{1}{6} ight)E_0^{\frac{1}{4}}μ^{-\frac{1}{3}}$ is suitably small. The above results show that the initial energy $E_0$ could be large if $γ-1$ and $\widetildeρ$ are small or the viscosity coefficient $μ$ is taken to be large. These results improve the one obtained by Huang-Li-Xin in \cite{Huang-Li-Xin}, where the existence of the classical solution is proved with small initial energy. It should be noted that in the theorems obtained in this paper, no smallness restriction is put upon the initial data. It can be viewed the first result on the existence of the global classical solution to three-dimensional Navier-Stokes equations with large initial energy and vacuum when $γ$ is near $1$.

연구 동기 및 목표

• 3차원 등온 압축성 라우지에르-스토크스 방정식에 대해 초기 에너지가 크고 진공이 존재하는 조건에서 전역 고전적 해의 존재를 확립하는 것.
• 진공으로 인해 운동량 방정식의 비가역성 문제가 발생함에 따라 정규성과 유일성의 복잡성을 극복하는 것.
• 이전 연구들이 초기 에너지가 작을 경우에 국한되어 있었음을 고려해, 특정 물리적 매개변수 조건 하에서 초기 에너지가 큰 경우에도 전역 해를 허용하는 것.
• 초기 자료가 작지 않더라도 전역 고전적 해가 존재함을 보여주는 것, 특히 γ가 1에 가까운 경우 또는 점도 μ가 클 경우에 해당함.
• 3차원에서 진공과 함께 큰 초기 자료를 가진 전역 고전적 해 존재 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 밀도와 속도의 시간에 따른 성장률을 제어하기 위해 사전 에너지 추정과 가중치가 붙은 L∞ 유계를 사용한다.
• 황-리-신(2016)의 방법을 수정한 것으로, (γ−1), ρ̃, μ에 대한 척도 의존 조건을 도입함으로써 초기 에너지가 큰 경우로 확장한다.
• 시간 간격을 분할하고, 레마 2.3을 적용하여 압력과 점도와 관련된 함수 b(t)의 유계를 통해 밀도의 점별 진화를 제어한다.
• 밀도의 L∞ 노름에 대한 사전 가정을 닫기 위해 부스팅 기법을 구현하여, 그 값이 초기 밀도 유계의 7/4 이내로 유지되도록 보장한다.
• 황-리-신(2016)의 기법을 따르되, 큰 에너지 영역에 맞게 조정하여 부드러운 해 (ρ, u)에 대한 시간에 의존하는 고차원 노름 추정을 유도한다.
• 비선형 항을 제어하고 전역 존재를 보장하기 위해 ((γ−1)^{1/36} + ρ̃^{1/6})E₀^{1/4}μ^{-1/3}의 작을 조건을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 등온 압축성 라우지에르-스토크스 방정식에 대해 초기 에너지가 크고 진공이 존재하는 경우 전역 고전적 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 등온 지수 γ, 원거리 밀도 ρ̃, 점도 μ에 어떤 조건이 성립해야, 초기 에너지가 크더라도 전역 고전적 해가 존재하는가?
• RQ3 초기 자료에 대한 작음 조건을 제거하면서도 진공이 존재하는 상황에서 전역 존재성과 해의 정규성을 보장할 수 있는가?
• RQ4 γ가 1에 가까운 것과 큰 점도 μ의 상호작용이 해의 장기적 행동과 정규성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 3차원 압축성 유동에서 진공이 존재하는 상황에서 전역 고전적 해 프레임워크를 작은 에너지 가정을 초월해 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 원거리 밀도가 진공인 경우(ρ̃=0), (γ−1)^{1/3}E₀μ^{-1}가 충분히 작을 경우, 3차원 등온 압축성 라우지에르-스토크스 방정식에 대해 초기 에너지가 크더라도 전역 고전적 해가 존재한다.
• 원거리 밀도가 양수인 경우(ρ̃>0), ((γ−1)^{1/36} + ρ̃^{1/6})E₀^{1/4}μ^{-1/3}가 충분히 작을 경우 전역 고전적 해가 존재한다.
• γ−1이 작거나 μ가 크면 초기 에너지 E₀가 크더라도 전역 정규성이 유지됨을 보여주며, 이는 큰 초기 에너지가 전역 정규성을 방해하지 않음을 시사한다.
• 제시된 작을 조건 하에 supₜ‖ρ‖_{L∞} ≤ 7/4 ρ̄로 밀도가 L∞(ℝ³)에서 유계임을 보장한다.
• γ가 1에 가까운 경우에 대해 3차원에서 초기 에너지가 크고 진공이 존재하는 상황에서 전역 고전적 해가 존재하는 것은 본 논문이 처음이다.
• 분석 결과, 초기 자료 자체에 대한 작음 조건이 필요하지 않으며, 오직 물리적 매개변수와 에너지의 특정 조합에 대한 조건만 필요함을 확인한다.