[논문 리뷰] Global smooth and topological rigidity of hyperbolic lattice actions

Aaron Brown, Federico Rodriguez Hertz외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 21.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 콪 pact nilmanifold 위의 hyperbolic lattice 작용에 대해 전역적인 매끄럽고 위상적 강성(global smooth and topological rigidity)을 확립한다. hyperbolic 선형 자료 또는 Anosov 역학의 조건 하에서, 연속적인 준동형사상(continuous semiconjugacy)이 존재하며(만일 매끄럽고 Anosov인 경우 $C^\infty$ 동형사상이 존재함), 이는 고계수 semisimple Lie 군의 코컴팩트 격자와 $\mathbb{T}^n$ 위의 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$($n \geq 5$)에 대해 $C^\infty$ 전역 강성을 이끌어낸다.

ABSTRACT

In this article we prove global rigidity results for hyperbolic actions of higher-rank lattices. Suppose $Γ$ is a lattice in semisimple Lie group, all of whose factors have rank $2$ or higher. Let $α$ be a smooth $Γ$-action on a compact nilmanifold $M$ that lifts to an action on the universal cover. If the linear data $ρ$ of $α$ contains a hyperbolic element, then there is a continuous semiconjugacy intertwining the actions of $α$ and $ρ$, on a finite-index subgroup of $Γ$. If $α$ is a $C^\infty$ action and contains an Anosov element, then the semiconjugacy is a $C^\infty$ conjugacy. As a corollary, we obtain $C^\infty$ global rigidity for Anosov actions by cocompact lattices in semisimple Lie group with all factors rank $2$ or higher. We also obtain global rigidity of Anosov actions of $\mathrm{SL}(n,\mathbb Z)$ on $\mathbb T^n$ for $ n\geq 5$ and probability-preserving Anosov actions of arbitrary higher-rank lattices on nilmanifolds.

연구 동기 및 목표

• 고계수 lattice 작용이 콤팩트 nilmanifold 위에서 hyperbolic 또는 Anosov 역학을 가지는 경우, 전역적인 위상적 및 매끄러운 강성을 확립하기.
• 이러한 작용이 선형 자료와 연속적인 준동형사상(또는 매끄럽고 Anosov인 경우 동형사상)을 가지며, Zimmer 프로그램의 추측을 확장하기.
• 결함 함수열의 코homological 소멸을 통한 nilmanifold 위 작용의 올림 문제를 해결하기.
• 고계수 semisimple Lie 군의 코컴팩트 격자에 의한 Anosov 작용에 대해 $C^\infty$ 전역 강성을 확립하기.
• $n \geq 5$ 인 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ 가 $\mathbb{T}^n$ 위에서 작용하는 경우와 확률을 보존하는 Anosov 작용에 대해 강성을 증명하기.

제안 방법

• 근사 동형사상과 중심 결함의 통제를 통해 작용 $\alpha$ 와 그 선형 자료 $\rho$ 사이에 연속적인 준동형사상을 구성하기.
• 올림 성질과 $\pi_1$-요소를 이용해 문제를 결함 함수열이 통제되는 노름군 작용으로 축소하기.
• 이동이 서로 교환되지 않을 경우를 측정하는 결함 함수열 $\beta_i(\gamma_1, \gamma_2)$ 를 정의하며, 값은 $Z_i \cap \Lambda_i$ 에 속함.
• 고정된 측도에 대한 적분을 통한 $d_{\rho_i,1}\eta = \beta_i$ 증명을 통해, 결함 함수열이 $H^2_{\rho_i}(\Gamma; \mathbb{Z}^{d_i})$ 에서 코homology에서 소멸함을 보이기.
• 일관된 작용의 올림을 가능하게 하기 위해 유한지수 부분군 $\hat{\Gamma}$ 로 전이하기.
• 코ycle 초강성과 궤도 폐쇄 결과를 적용해 역학을 통제하고 동형사상의 정규성을 확보하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 nilmanifold 위의 매끄러운 lattice 작용이 선형 자료로의 $C^\infty$ 동형사상을 갖는가?
• RQ2 어떤 조건에서 nilmanifold 위의 hyperbolic lattice 작용이 선형 표현으로의 연속적인 준동형사상을 갖는가?
• RQ3 코homological 결함 함수열의 소멸을 통해 nilmanifold 작용의 올림 장애를 해결할 수 있는가?
• RQ4 고계수 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ 가 $\mathbb{T}^n$ 위에서 작용하는 경우의 전역 강성 클래스는 무엇인가?
• RQ5 확률을 보존하는 고계수 lattice의 nilmanifold 위 작용에 대해 $C^\infty$ 전역 강성이 성립하는가?

주요 결과

• hyperbolic 선형 자료를 가진 매끄러운 $\Gamma$-작용이 콤팩트 nilmanifold 위에서 유한지수 부분군의 선형 작용으로 연속적인 준동형사상을 갖는다.
• 만일 작용이 $C^\infty$ 이고 Anosov 원소를 포함한다면, 준동형사상은 $C^\infty$ 동형사상이 된다.
• 유한지수 부분군으로 전이한 후, 결함 함수열 $\beta_i$ 는 $H^2_{\rho_i}(\Gamma; \mathbb{Z}^{d_i})$ 에서 소멸하여 작용의 일관된 올림이 가능해진다.
• 모든 인자가 랭크 $\geq 2$ 인 고계수 semisimple Lie 군의 코컴팩트 격자에 의한 Anosov 작용에 대해 $C^\infty$ 전역 강성이 성립한다.
• 논문은 $n \geq 5$ 인 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ 가 $\mathbb{T}^n$ 위에서 작용하는 경우에 대해 $C^\infty$ 전역 강성을 확립한다.
• 임의의 고계수 lattice가 nilmanifold 위에서 확률을 보존하는 Anosov 작용을 하면, $C^\infty$ 전역 강성이 성립한다.