[논문 리뷰] Global Well-posedness of Non-Markovian Multidimensional Superquadratic BSDE

Kihun Nam|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 경사의 초평면 성장 조건을 만족하는 다차원 비마르코프성 후행 확률미분방정식(BSDE)의 전역 적으로 잘 정의된 해를 백터니케이션(iteration)과 완전히 결합된 경로의존성 FBSDE의 국소적 잘 정의된 해를 기반으로 하는 확률적 접근법을 통해 확립한다. 주요 기여는 이러한 BSDE에 대한 일반적인 존재성 및 유일성 결과를 도출한 것으로, 경로의존성 PDE에까지 확장된다.

ABSTRACT

(Working Paper) Using a purely probabilistic argument, we prove the global well-posedness of multidimensional superquadratic backward stochastic differential equations (BSDEs) without Markovian assumption. The key technique is the interplay between the local well-posedness of fully coupled path-dependent forward backward stochastic differential equations (FBSDEs) and backward iterations of the superquadratic BSDE. The superquadratic BSDE studied in this article includes quadratic BSDEs appear in stochastic differential game and price impact model. We also study the well-posedness of superquadratic FBSDEs and FBSDEs with measurable coefficients using the corresponding BSDE results. Our result also provides the well-posedness of a system of path-dependent quasilinear partial differential equations where the nonlinearity has superquadratic growth in the gradient of the solution.

연구 동기 및 목표

• 마르코프성 조건을 가정하지 않고 경사의 초평면 성장 조건을 만족하는 다차원 후행 확률미분방정식(BSDE)의 전역 적으로 잘 정의된 해를 확립하는 것.
• 측정 가능한 계수를 가진 완전히 결합된 경로의존성 FBSDE에 대한 잘 정의된 해 프레임워크를 확장하는 것.
• 초평면 성장 비선형성을 경사에 대해 가지는 경로의존성 쿼드라틱 비선형 PDE 시스템의 해법과 초평면 성장 BSDE의 해를 연결하는 것.
• PDE 기반 기법이나 마르코프성 가정에 의존하지 않는 순수한 확률적 방법을 개발하는 것.

제안 방법

• 초평면 성장 BSDE의 후행 반복을 이용하여 점진적으로 해를 구성하는 방법.
• 완전히 결합된 경로의존성 전후 확률미분방정식(FBSDE)의 국소적 잘 정의된 해를 기초 단계로 활용하는 방법.
• PDE 기반 방법이나 마르코프성 가정에 의존하지 않는 순수한 확률적 추론을 사용하는 방법.
• BSDE의 해와 경로의존성 쿼드라틱 비선형 PDE 시스템의 해 사이의 연결 고리를 확립하는 방법.
• 결과를 더 규칙성이 낮은 계수를 가진 FBSDE로 확장하기 위해 측정 가능한 계수 조건을 적용하는 방법.
• 국소 FBSDE의 잘 정의된 해와 반복적 BSDE 근사 간의 상호작용을 통해 전역적 존재성 및 유일성을 확보하는 방법.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마르코프성 조건을 가정하지 않고 다차원 초평면 성장 BSDE의 전역 적으로 잘 정의된 해를 확립할 수 있는가?
• RQ2 마르코프성 구조가 없을 경우 BSDE의 후행 반복을 어떻게 활용하여 전역 해를 구성할 수 있는가?
• RQ3 초평면 성장 BSDE와 경로의존성 쿼드라틱 비선형 PDE 시스템 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 BSDE 프레임워크를 통해 측정 가능한 계수를 가진 FBSDE에 대한 잘 정의된 해 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ5 초평면 성장 BSDE를 해결하는 데 있어 PDE 기반 접근법을 피할 수 있는 확률적 기법은 무엇인가?

주요 결과

• 마르코프성 조건 없이 경사의 초평면 성장 조건을 만족하는 다차원 비마르코프성 BSDE에 대해 전역 적으로 잘 정의된 해가 확립된다.
• 해법은 후행 반복과 완전히 결합된 경로의존성 FBSDE의 국소적 잘 정의된 해에 기반한다.
• 이 프레임워크는 확률적 미분 게임과 가격 영향 모델에서 발생하는 이차 BSDE에 적용 가능하다.
• 측정 가능한 계수를 가진 FBSDE에 대해서도 BSDE 결과를 통해 잘 정의된 해가 확장된다.
• 결과는 경사의 초평면 성장 비선형성을 가지는 경로의존성 쿼드라틱 비선형 PDE 시스템의 해법 가능성을 암시한다.
• 이러한 방정식을 해결하는 데 있어 PDE 기반 방법의 대안으로 순수한 확률적 접근법을 제공한다.