[논문 리뷰] The Wellposedness of Path-dependent Multidimensional Forward-backward SDE

Kaitong Hu|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 경로에 따라 변화하는 다차원 정방향-역방향 확률미분방정식(FBSDE)의 잘 정의됨을 입증하기 위해 경로 공간 위에 전역 탈결 무작위 장을 구성함으로써 이를 달성한다. 국소적 해를 연결하기 위해 특성 BSDE를 사용하여, 특성 BSDE의 해가 유계일 조건 하에 해의 존재성, 유일성 및 안정성을 입증한다.

ABSTRACT

We study in this paper the wellposedness of path-dependent multidimensional forward-backward stochastic differential equations (FBSDE). By path-dependent we mean that the coefficients of the forward-backward SDE at time t can depend on the whole path of the forward process up to time t. These kinds of forward-backward SDE appear when solving path-dependent stochastic control problem by means of variational calculus. At the heart of our analysis is the construction of a decoupling random field on the path space. We first prove the existence and the uniqueness of decoupling field on small time interval. Then by introducing the characteristic BSDE, we show that a global decoupling field can be constructed by patching local solutions together as long as the solution of the characteristic BSDE remains bounded. Finally, we show that the solution of a path-dependent forward-backward SDE is stable.

연구 동기 및 목표

• 정방향 과정의 전체 과거 경로에 따라 변화하는 계수를 갖는 경로에 따라 변화하는 다차원 정방향-역방향 SDE의 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 이러한 FBSDE를 해결하는 데 필수적인 경로 공간 위에 전역 탈결 장을 구성하는 데 도전하는 것.
• 변형에 대한 해의 안정성을 확보하는 것. 이는 확률적 제어 및 수치 분석 응용에서 핵심적이다.
• 전통적인 FBSDE 이론을 변분법과 확률적 제어 문제에 관련된 경로에 따라 변화하는 설정으로 확장하는 것.

제안 방법

• 정방향 및 역방향 성분을 연결하기 위해 경로 공간 위에 탈결 무작위 장을 구성하는 것.
• 고정점 추론을 경로 공간에 적용하여 짧은 시간 간격에서 탈결 장의 국소적 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• 시간에 따라 탈결 장의 진화를 추적하기 위해 특성 역방향 확률미분방정식(_BSDE_)을 도입하는 것.
• 특성 BSDE의 해가 유계일 때 이를 조건으로 삼아 국소 탈결 장을 전역 해로 연결하는 것.
• 계수나 초기 경로의 미세한 변형이 해에 미치는 영향을 작게 유지함을 보여주기 위해 안정성 분석을 적용하는 것.
• 비 마코프 성질을 가진 문제를 다루기 위해 연속 경로 공간 위에서의 경로별 분석과 확률 미적분학을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경로에 따라 변화하는 다차원 FBSDE가 어떤 조건에서 유일한 해를 갖는가?
• RQ2 국소 해가 짧은 시간 간격에서만 존재할 경우, 전역 탈결 장은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 특성 BSDE의 해가 탈결 장의 전역 존재성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 계수나 초기 경로의 변형에 대해 경로에 따라 변화하는 FBSDE의 해는 안정적인가?
• RQ5 탈결 장 방법은 고차원에서 비 마코프성 및 경로에 따라 변화하는 계수로 확장 가능한가?

주요 결과

• 작은 시간 간격에서 유일한 탈결 장이 국소적으로 존재하여 FBSDE의 국소적 해를 가능하게 한다.
• 특성 BSDE의 해가 유계일 동안에는 국소 해를 연결하여 전역 탈결 장을 구성할 수 있다.
• 경로에 따라 변화하는 FBSDE의 해는 계수나 초기 경로의 변형에 대해 안정적이다.
• 특성 BSDE는 탈결 장의 전역 확장을 제어하는 핵심 도구로 기능한다.
• 이 방법은 다차원 시스템에 적용 가능하며, 비 마코프성 및 경로에 따라 변화하는 계수를 처리할 수 있다.
• 결과는 변분 방법을 통한 경로에 따라 변화하는 확률적 제어 문제의 해법에 대한 이론적 기초를 제공한다.