[논문 리뷰] Good Concatenated Code Ensembles for the Binary Erasure Channel

Alexandre Graell i Amat, Eirik Rosnes|arXiv (Cornell University)|2009. 04. 16.

Error Correcting Code Techniques참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 이진 삭제 채널(BEC)에서 반복 다중누적(RMA) 및 하이브리드 콘кат레티드 코드(HCC) 집합에 대해 停止 집합 분석을 도입하여, 두 집합 모두 블록 길이에 따라 선형적으로 증가하는 渐近 정지 거리 hmin을 가지며, BEC에서 우수한 성능을 보임을 보여준다. 최소 거리 dmin과는 달리, hmin의 성장률은 누적기 수가 많아질수록 감소하며, 높은 비율에서의 무작위 펌프링은 선형 hmin 성장성을 해친다. 이는 dmin가 동일 조건에서 Gilbert-Varshamov 경계에 수렴하는 것과 대조된다.

ABSTRACT

In this work, we give good concatenated code ensembles for the binary erasure channel (BEC). In particular, we consider repeat multiple-accumulate (RMA) code ensembles formed by the serial concatenation of a repetition code with multiple accumulators, and the hybrid concatenated code (HCC) ensembles recently introduced by Koller et al. (5th Int. Symp. on Turbo Codes & Rel. Topics, Lausanne, Switzerland) consisting of an outer multiple parallel concatenated code serially concatenated with an inner accumulator. We introduce stopping sets for iterative constituent code oriented decoding using maximum a posteriori erasure correction in the constituent codes. We then analyze the asymptotic stopping set distribution for RMA and HCC ensembles and show that their stopping distance hmin, defined as the size of the smallest nonempty stopping set, asymptotically grows linearly with the block length. Thus, these code ensembles are good for the BEC. It is shown that for RMA code ensembles, contrary to the asymptotic minimum distance dmin, whose growth rate coefficient increases with the number of accumulate codes, the hmin growth rate coefficient diminishes with the number of accumulators. We also consider random puncturing of RMA code ensembles and show that for sufficiently high code rates, the asymptotic hmin does not grow linearly with the block length, contrary to the asymptotic dmin, whose growth rate coefficient approaches the Gilbert-Varshamov bound as the rate increases. Finally, we give iterative decoding thresholds for the different code ensembles to compare the convergence properties.

연구 동기 및 목표

• 이진 삭제 채널(BEC)에서 RMA 및 HCC 코드 집합의 정지 집합 분포를 설정하기.
• 반복 구성 코드 디코딩과 MAP 삭제 보정을 위한 코드 우수성 측정 척도로서 渐近 정지 거리 hmin을 정의하고 분석하기.
• 다양한 수의 누적기와 펌프링 조건 하에서 hmin과 dmin의 渐近 행동을 비교하기.
• 반복 디코딩 임계점 평가를 위해 EXIT 차트 분 析를 사용하여 수렴 성질 평가하기.

제안 방법

• RMA 및 HCC 코드에서 최대사후확률(MAP) 삭제 보정을 사용한 반복 구성 코드 기반 디코딩을 위한 정지 집합을 도입한다.
• 요소 그래프 표현을 사용하여 RMA 및 HCC 집합의 평균 정지 집합 수를 유도한다.
• 스펙트럼 형상 함수 및 渐近 분석을 적용하여 정지 거리 성장률 계수 ρ0를 계산한다.
• 반복 방정정식과 경계 조건을 사용하여 누적기 간 정지 집합 크기의 진화를 모델링한다.
• 레마 5 및 6를 활용한 渐近 분석을 수행하며, 스펙트럼 형상 함수의 성장률 조건 및 연속성 성질에 의존한다.
• EXIT 차트 분 析를 활용하여 다양한 코드 집합의 반복 디코딩 수렴 임계점 평가를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 RMA 및 HCC 코드 집합은 BEC에서 渐近적으로 선형 정지 거리 hmin을 가지는가? 이는 코드의 우수성을 시사하는가?
• RQ2 hmin의 성장률 계수는 누적기 수에 따라 어떻게 변화하는가? 최소 거리 dmin와의 비교는 어떻게 되는가?
• RQ3 고비율에서의 무작위 펌프링은 RMA 코드의 渐近 hmin 성장 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 EXIT 차트를 통해 RMA 및 HCC 집합 간 반복 디코딩 수렴 성질의 차이는 어떻게 드러나는가?
• RQ5 정지 집합 분포는 이러한 코드 구조에서 BEC에서의 디코딩 실패를 정확히 특성화하는가?

주요 결과

• RMA 및 HCC 코드 집합은 모두 BEC에서 渐近적으로 우수하며, 블록 길이에 따라 선형적으로 증가하는 정지 거리 hmin을 가지기 때문이다.
• RMA 코드의 경우, 정지 거리 hmin의 渐近 성장률 계수는 누적기 수가 증가함에 따라 감소하며, 이는 dmin와는 대조적으로 더 많은 누적기가 있을수록 성장률이 증가하는 것과 대비된다.
• 충분히 높은 코드 비율에서의 무작위 펌프링은 블록 길이에 따라 선형적으로 증가하는 渐近 hmin를 중단시키며, 이는 dmin가 동일 조건에서 Gilbert-Varshamov 경계에 수렴하는 것과 대조된다.
• 정지 집합 크기 스펙트럼 형상 함수 rCRMA_s(ρ; N)는 2L ln(N+1)/N + rCRMA_s(ρ)로 유계이므로 성장률 분석이 가능하다.
• EXIT 차트 분 析를 통해 RMA 및 HCC 집합 간 고유한 수렴 임계점이 드러나며, 이는 반복 디코딩 성능의 차이를 시사한다.
• 정지 집합 개념은 BEC에서의 디코딩 실패를 정확히 특성화한다. 여기서 수정되지 않은 잔여 삭제 비트 집합은 정확히 최대 크기의 정지 집합에 해당한다.