[논문 리뷰] Goodwillie calculus and Mackey functors

Saul Glasman|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 10.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 스펙트럼에서 안정적 ∞-범주 E로의 n-excisive 함자를 E-값을 가진 유한 집합의 매크리 함수와 등가로 설정한다. 핵심 결과는 함수 계산 이론에서 다항 함수를 분류하기 위해 등비 이론의 궤도 범주와 유사한 색인 범주를 도입한 것으로, 함수 계산 이론과 등비 호모토피 이론 간의 깊은 구조적 유사성을 드러낸다.

ABSTRACT

We show that the category of $n$-excisive functors from the $\infty$-category of spectra to a target stable $\infty$-category $\mathbf{E}$ is equivalent to the category of $\mathbf{E}$-valued Mackey functors on an indexing category built from finite sets and surjections. This new classification of polynomial functors arises from an investigation of the structure present on cross effects. The path to this result involves a pair of surprising extension theorems for polynomial functors and a discussion of some interesting topics in semiadditive $\infty$- category theory, including a formula for the free semiadditive $\infty$-category on an $\infty$-category.

연구 동기 및 목표

• 안정적 ∞-범주적 설정에서 매크리 함수를 사용하여 n-excisive 함수의 새로운 분류를 수립하기.
• 이 분류의 색인 범주가 크기가 ≤ n인 유한 집합과 전사 사상으로 구성된 범주임을 확인하기.
• n-excisive 함수의 크로스 효과가 관련 매크리 함수의 값과 정확히 일치함을 보여주기.
• n-excisive 함수에 대해 등비 호모토피 이론의 노름 구조와 유사한 노름 구조를 도입하여 함수 계산 이론과 등비 호모토피 이론 간의 유사성을 확장하기.
• 각 단계에서 독립적으로 검증 가능한 ∞-범주의 등가를 잘 정의된 순서로 구성함으로써 모듈러이고 함숫적인 등가 구조를 제공하기.

제안 방법

• 주요 등가는 여섯 개의 함수의 복합으로 구성되며, 각 함수가 각각 등가임을 증명한다.
• 첫 번째 함수인 $\Xi^{\mathcal{F}_{\text{surj}}^{\leq n}}$ 는 크기가 $\leq n$인 집합에 지지된 매크리 함수로의 제한을 제공하며, Glasman(2015)의 결과에 기반한다.
• 두 번째 함수인 $\phi^*$ 는 $\mathcal{F}_{\text{surj}}^{\leq n}$ 의 유효 아름다이 범주에 대한 매크리 함수와 그 반대 범주의 가역적 완성에 대한 덧셈 함수 간의 관계를 설명한다.
• 세 번째 함수인 $\kappa^*$ 는 유효 아름다이 범주 위의 덧셈 함수와 전체 아름다이 범주 위의 덧셈 함수 간의 관계를 설명한다.
• 네 번째 함수인 $R_n$ 은 차수 n의 함수로 제한하는 국소화의 역함수이며, 왼쪽 캐논 확장과 덧셈 완성으로 구성된다.
• 마지막 두 함수인 $(\Im_n^*)^{-1}$ 과 $(\iota^*)^{-1}$ 은 각각 연결 덮개와 n-excisivization에 대한 전치와 왼쪽 캐논 확장을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 스펙트럼에서 안정적 ∞-범주 $\u0395$ 로의 n-excisive 함수는 조합적 색인 범주를 통해 매크리 함수로 분류될 수 있는가?
• RQ2 함수 계산 이론과 등비 호모토피 이론 간에 궤도 범주와 노름 구조 측면에서 구조적 유사성이 존재하는가?
• RQ3 n-excisive 함수의 크로스 효과와 관련 매크리 함수의 값 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 n-excisive 근사 $P_n(\Sigma^\infty \Omega^\infty)$ 는 등비 구조로 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ5 등비 호모토피 이론의 Hill-Hopkins-Ravenel 노름과 유사한 노름 유형의 구조를 n-excisive 함수에 대해 정의할 수 있는가?

주요 결과

• n-excisive 함수의 범주 $\text{Fun}^{n\text{-exc}}(\textbf{Sp}^\omega, \mathbf{E})$ 는 크기가 최대 $n$인 유한 집합과 전사 사상으로 구성된 범주 $\mathcal{F}_{\text{surj}}^{\leq n}$ 에 대한 $\mathbf{E}$-값을 가진 매크리 함수의 범주와 등가이다.
• n-excisive 함수 $F$ 와 관련된 매크리 함수 $M_F$ 가 유한 집합 $U$ 에서의 값은 $F$ 의 $U$-색인 크로스 효과와 동치이다: $M_F(U) \simeq cr_U F(\mathbb{S}, \dots, \mathbb{S})$.
• 등가는 여섯 개의 함수의 복합으로 명시적으로 구성되며, 각 함수는 알려진 역함수를 지닌다. 이 역함수들은 왼쪽 캐논 확장과 국소화 절차로 주어진다.
• 노름 구조 $\mathbf{Nm}_n(X)$ 는 객체 $X \in \mathbf{E}$ 에서부터 n-excisive 함수를 구성하며, 주요 등가의 역함수는 $F_M(X) \simeq (\mathbf{Nm}_n(X) \otimes M)(\langle 1 \rangle)$ 으로 주어진다. 여기서 $\otimes$ 는 Day 콘볼루션을 의미한다.
• n=2 인 경우, 궤도 범주 $\mathbf{O}_{C_2}$ 는 빈 집합을 제외한 $\mathcal{F}_{\text{surj}}^{\leq 2}$ 와 등가이며, 이에 따라 $\textbf{Sp}^{C_2} \simeq \mathbf{Mack}(\mathcal{F}_{\text{surj}}^{\leq 2}, \textbf{Sp})$ 가 성립하며, 이 등가는 노름과도 호환된다.
• n-excisive 근사 $P_n(\Sigma^\infty \Omega^\infty)$ 는 $\mathbf{Nm}_n(\mathbb{S})$ 와 등가이며, 이 노름은 대칭 모노이드적 구조를 지니며, $\text{Fun}^{n\text{-exc}}(\textbf{Sp}, \textbf{Sp})$ 에서의 Day 콘볼루션의 항등원으로서 기능한다.