[논문 리뷰] Graph product structure for non-minor-closed classes

Vida Dujmović, Pat Morin외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 11.

Computational Geometry and Mesh Generation인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비소수폐쇄 그래프 클래스에 대한 제품 구조 정리 수립을 통해, 모든 $k$-평면 그래프가 트리너비 $O(k^5)$인 그래프와 경로의 강한 곱의 부분그래프와 동형임을 증명한다. 이는 이전에 소수폐쇄 클래스에 국한되었던 제품 구조 정리의 적용 범위를 확장하며, $k$-평면 및 관련 그래프 클래스에 대해 비반복 색칠, 중심 색칠, 유니버설 그래프에 대한 새로운 경계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Dujmović et al. [\emph{J.~ACM}~'20] recently proved that every planar graph is isomorphic to a subgraph of the strong product of a bounded treewidth graph and a path. Analogous results were obtained for graphs of bounded Euler genus or apex-minor-free graphs. These tools have been used to solve longstanding problems on queue layouts, non-repetitive colouring, $p$-centered colouring, and adjacency labelling. This paper proves analogous product structure theorems for various non-minor-closed classes. One noteable example is $k$-planar graphs (those with a drawing in the plane in which each edge is involved in at most $k$ crossings). We prove that every $k$-planar graph is isomorphic to a subgraph of the strong product of a graph of treewidth $O(k^5)$ and a path. This is the first result of this type for a non-minor-closed class of graphs. It implies, amongst other results, that $k$-planar graphs have non-repetitive chromatic number upper-bounded by a function of $k$. All these results generalise for drawings of graphs on arbitrary surfaces. In fact, we work in a more general setting based on so-called shortcut systems, which are of independent interest. This leads to analogous results for certain types of map graphs, string graphs, graph powers, and nearest neighbour graphs.

연구 동기 및 목표

• 소수폐쇄 클래스(예: 평면 및 엣지-소수폐쇄 그래프)에 국한되어 있던 제품 구조 정리를 $k$-평면 그래프와 같은 비소수폐쇄 그래프 클래스로 확장하는 것.
• 지역 교차 또는 교차 패턴이 유한한 그래프 클래스를 포괄하는 일반적 프레임워크인 슈트컷 시스템을 기반으로 한 일반적 프레임워크 개발.
• 새로운 구조적 결과를 바탕으로 비반복 색칠, $p$-중심 색칠, 인접 레이블링에 대한 정량적 경계 유도.
• 표면에 임베딩된 그래프로 결과 일반화를 위해 $(g,k)$-평면 그래프 및 $(g,\text{clique})$-맵 그래프 도입.
• 이러한 클래스에 속하는 $n$-정점 그래프에 대해 $n^{1+o(1)}$ 크기의 유니버설 그래프 존재를 확립하여 효율적 인접 레이블링 가능.

제안 방법

• 지역 교차 또는 교차 패턴이 유한한 그래프 클래스를 포괄하는 일반적 프레임워크로 슈트컷 시스템 개념 도입.
• $k$-평면 그래프가 유한 전개를 갖는 층형 분할을 갖는다는 것을 증명하여, 낮은 트리너비 그래프와 경로의 곱에의 임베딩 가능하게 한다.
• 트리너비 $O(k^5)$인 그래프 $H$와 경로의 강한 곱 $H oxtimes P$를 사용해 $k$-평면 그래프를 표현함으로써, 이전 평면 및 유한 성질을 갖는 그래프에 대한 결과를 일반화.
• 트리너비가 유한한 그래프의 색칠 수 및 색칠 매개변수에 대한 기존 경계를 활용해 곱 클래스에 대한 경계 유도.
• 기존 곱 그래프 이론에 기반한 결과를 조합하여 $p$-중심 색칠, 비반복 색칠, 유니버설 그래프에 대한 경계 유도.
• 표면에 임베딩된 그래프로의 일반화를 위해 $(g,k)$-평면 그래프(유일성 오일러 지표 $g$인 표면에서 각 간선이 최대 $k$개의 교차를 갖는 그래프) 정의 및 유사한 구조 정리 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제품 구조 정리는 소수폐쇄 클래스에 국한되어 있던가? 비소수폐쇄 클래스인 $k$-평면 그래프와 같은 그래프 클래스로 확장 가능한가?
• RQ2 $k$-평면 그래프의 강한 곱 표현에서 기본 그래프의 트리너비는 어떤 의존성을 갖는가?
• RQ3 $k$-평면 그래프 및 관련 클래스(예: 스트링 그래프, 맵 그래프)의 구조적 성질은 색칠 및 레이블링 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 슈트컷 시스템 프레임워크를 활용해 다양한 그래프 클래스에 걸쳐 비반복 및 $p$-중심 색칠에 대한 통합 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ5 이러한 클래스에 속하는 $n$-정점 그래프는 $n^{1+o(1)}$ 크기의 유니버설 그래프를 갖는가? 이 그래프는 모든 $n$-정점 그래프를 유도 부분그래프로 포함한다.

주요 결과

• 모든 $k$-평면 그래프는 트리너비 $O(k^5)$인 그래프와 경로의 강한 곱의 부분그래프와 동형이며, 이는 비소수폐쇄 클래스에 대해 처음으로 성립하는 결과이다.
• 비반복 색칠 수는 $k$의 함수로 유한하게 제한되며, 이는 제품 구조와 트리너비 제한 그래프에 대한 기존 경계로부터 유도된다.
• $p$-중심 색칠 수는 $(18k^2 + 48k + 30) \times 4^{\binom{k+4}{3}}$ 이하로 유한하며, 고정된 $k$에 대해 $p$에 대해 다항식이다. 이는 이전의 이중 지수 경계보다 향상된 결과이다.
• $(g,k)$-평면 그래프의 경우, $p$-중심 색칠 수는 $\text{max}\big\brace{2g,3\big\brace} \times (6k^2 + 16k + 10)(p+1)\binom{p + \binom{k+4}{3} - 1}{\binom{k+4}{3} - 1}$ 이하로 유한하며, 고정된 $g,k$에 대해 $p$에 대해 다항식이다.
• $n$-정점 $(g,k)$-평면 그래프, $(g,d)$-맵 그래프, $(g,\nu)$-스트링 그래프, $k$-근접 이웃 그래프, 최대 차수 $\triangle$인 $X$-소수폐쇄 그래프의 $k$-거듭제곱을 포함하는 유니버설 그래프 $U_n$이 존재하며, 크기는 $n^{1+o(1)}$ 이하이다.
• 프레임워크를 통해 $d$-맵 그래프 및 $k$-근접 이웃 그래프에 대한 비반복 및 $p$-중심 색칠 경계를 도출할 수 있으나, 이는 차수 기반 경계보다 약하다. 그러나 이러한 경우 차수 기반 경계가 더 날카롭게 작용한다.