[논문 리뷰] Graver Bases via Quantum Annealing with Application to Non-Linear Integer Programs

Hedayat Alghassi, Raouf Dridi외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 6인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 D-Wave의 양자 앤날러를 사용하여 비선형 정수계획법의 최적성 증명자인 그레이버 기저를 계산하기 위한 하이브리드 양자-고전적 접근법을 제안한다. 커널 계산을 QUBO로 표현하고, 최소 비영인 정수해를 추출하기 위해 후처리를 적용함으로써, 중간 크기의 문제에서 경쟁 가능한 성능를 달성하였으며, 큐비트 수, 연결성, 커퍼 정밀도 향상으로 인해 근초기 양자 우위가 실현 가능할 것으로 보인다.

ABSTRACT

We propose a novel hybrid quantum-classical approach to calculate Graver bases, which have the potential to solve a variety of hard linear and non-linear integer programs, as they form a test set (optimality certificate) with very appealing properties. The calculation of Graver bases is exponentially hard (in general) on classical computers, so they not used for solving practical problems on commercial solvers. With a quantum annealer, however, it may be a viable approach to use them. We test two hybrid quantum-classical algorithms (on D-Wave)--one for computing Graver basis and a second for optimizing non-linear integer programs that utilize Graver bases--to understand the strengths and limitations of the practical quantum annealers available today. Our experiments suggest that with a modest increase in coupler precision--along with near-term improvements in the number of qubits and connectivity (density of hardware graph) that are expected--the ability to outperform classical best-in-class algorithms is within reach, with respect to non-linear integer optimization.

연구 동기 및 목표

• 현재의 양자 앤날러를 사용하여 비선형 정수계획법의 강력한 최적성 증명자인 그레이버 기저를 실용적으로 계산할 수 있는지 탐색한다.
• D-Wave 프로세서에서 해결할 수 있는 QUBO 문제로 그레이버 기저 계산을 매핑하는 하이브리드 양자-고전적 파이프라인을 개발한다.
• 현재 하드웨어 제약 조건 하에서, 양자 앤날링이 고전적 방법보다 비선형 정수 최적화에서 승리할 수 있는지 평가한다.
• 부분 그레이버 기저와 다수의 초기 탇가능해를 통해 증강된 검색을 통해 전체 최적해를 얻을 수 있는지 조사한다.
• 이 도메인에서의 양자 우위를 위한 하드웨어 요구사항(큐비트 수, 연결성, 커퍼 정밀도)을 규명한다.

제안 방법

• 정수 행렬 A의 정수 커널을 정수에서 이진수로의 인코딩과 적응형 중심화를 사용하여 QUBO로 매핑하여 큐비트 제약 조건에 맞춘다.
• D-Wave 양자 앤날러를 사용해 커널 원소에 해당하는 디제너레이트 해를 샘플링한 후, 체계적인 후처리를 통해 최소 비영인 정수 벡터(그레이버 기저 원소)를 추출한다.
• 사슬 끊기 전략을 적용하고 앤날링 시간을 조정하여 해의 정밀도를 향상시키고 오류를 줄인다.
• 잔여 커널 기법을 적용하여 초기 실행에서 발견되지 않은 추가 그레이버 기저 원소를 반복적으로 복구한다.
• 계산된 그레이버 기저를 두 번째 하이브리드 알고리즘에 활용하여 다수의 초기 탯가능해에서부터 전체 최적해로의 반복적 증강을 수행한다.
• 제한된 그레이버 기저 원소를 사용해 병렬 증강을 수행하여 해의 품질과 계산 비용 간의 트레이드오프를 탐색한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 현재 하드웨어 제약 조건에도 불구하고, 양자 앤날링이 중간 크기의 정수 행렬에 대해 그레이버 기저를 효과적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 제한된 D-Wave 호출로 확보한 부분 그레이버 기저가 비선형 정수계획법에서 전체 최적해로 수렴하는 데 얼마나 기여하는가?
• RQ3 큐비트 수, 연결성, 커퍼 정밀도 등의 하드웨어 제약 조건이 이 하이브리드 양자-고전적 접근의 성능와 확장성에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ4 완전한 기저 계산이 불가능한 상황에서도, 다수의 초기 탯가능해와 부분 그레이버 기저의 조합이 여전히 고품질 또는 최적해를 도출할 수 있는가?
• RQ5 원시 양자 앤날러 출력을 유효한 그레이버 기저 원소로 변환하는 데 가장 효과적인 후처리 기법은 무엇인가?

주요 결과

• 4×4 행렬(포인 코인 문제)에 대해 한 번의 D-Wave 호출로 전체 그레이버 기저를 성공적으로 계산하였으며, 후처리 과정에서 모두 다섯 개의 최소 원소를 복구하였다.
• 50개 변수를 가진 비선형 0-1 계획법 문제에서, 양자 기반 접근법이 -2.4603의 해 비용을 기록하여 고전적 최고 성능 방법과 유사한 성능를 보였다.
• 전체 그레이버 기저의 약 68%에 해당하는 부분 기저(약 2×418개 원소)를 사용했을 때, 773개의 초기 탯가능해 중 64개에서 전체 최적해에 도달하였다.
• 부분 그레이버 기저를 사용한 해의 평균 비용은 -1.6546이었으며, 이는 탯가능해 확인만으로 얻은 평균 비용 10.9013보다 유의미하게 높은 성능를 보여, 부분 기저 원소의 가치를 입증하였다.
• 컨넥터 정밀도 향상과 함께 큐비트 수와 연결성 향상으로 인해, 이 방법이 곧바로 고전적 솔버를 능가할 수 있을 것으로 예측되었다.
• 적응형 중심화 및 인코딩 전략이 큐비트 효율을 크게 향상시켜 더 큰 문제를 하드웨어 제약 내에서 인코딩할 수 있도록 하였다.