[논문 리뷰] Gray tensor products and lax functors of $(\infty,2)$-categories

Andrea Gagna, Yonatan Harpaz외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 25.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 스케일드 심플리셜 세트의 맥락에서 $(\infty,2)$-카테고리에 대해 잘 정의된 그레이 텐서 곱을 도입하며, 이 곱이 결합법칙을 만족하고 왼쪽 쿠일렌 이중함수로 작용함을 증명한다. 이는 올락 함자를 통해 유니버설 성질로 특성화되며, 게이츠기-로젠블룸의 구성과의 비교를 위한 기초를 마련하고, 고차 카테고리 이론에서 호모토피 이론적 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We give a definition of the Gray tensor product in the setting of scaled simplicial sets which is associative and forms a left Quillen bifunctor with respect to the bicategorical model category of Lurie. We then introduce a notion of oplax functor in this setting, and use it in order to characterize the Gray tensor product by means of a universal property. A similar characterization was used by Gaitsgory and Rozenblyum in their definition of the Gray product, thus giving a promising lead for comparing the two settings.

연구 동기 및 목표

• 스케일드 심플리셜 세트의 맥락에서 $(\infty,2)$-카테고리에 대해 잘 정의된 그레이 텐서 곱을 정의하는 것.
• 이 곱이 루리의 이중카테고리적 모델 구조에 대해 결합법칙을 만족하고 왼쪽 쿠일렌 이중함수로 작용함을 확립하는 것.
• $(\infty,2)$-카테고리의 맥락에서 올락 함수의 개념을 도입하고, 이를 통해 그레이 곱을 유니버설 성질로 특성화하는 것.
• 게이츠기-로젠블룸의 그레이 곱과의 비교를 위한 길을 열기 위해 올락 함수의 유니버설 성질을 정렬하는 것.

제안 방법

• 저자들은 루리의 이중카테고리적 모델 구조를 지닌 스케일드 심플리셜 세트의 범주 안에서 작업한다.
• 그레이 텐서 곱을 각 변수에서 코프리피케이션과 약한 동치를 보존하는 이중함수로 정의한다. 이 곱은 실제로 결합법칙을 만족한다.
• 저자들은 $(\infty,2)$-카테고리 간의 올락 함수를 정의하며, 이는 양면 삼각형을 제어 가능한 방식으로 보존하는 사상으로 일반화된 2-카테고리적 올락 함수의 일반화이다.
• 특정 조건 하에서 2-심플렉스의 이미지에 대해, $\mathcal{C} \times \mathcal{D}$ 에서 $\mathcal{E}$ 로 향하는 올락 함수의 함수와 $\mathcal{C} \otimes \mathcal{D}$ 에서 $\mathcal{E}$ 로 향하는 함수 사이의 동치를 보여줌으로써 유니버설 성질을 구성한다.
• 4-심플렉스 $\mathfrak{P}$ 와 그 면들을 이용한 포화 폐쇄 추론을 통해, 목표의 모든 얇은 삼각형이 올락 함수의 이미지에 의해 포괄됨을 보인다.
• 특정 조건을 만족하는 올락 함수의 집합으로서, $\mathrm{Fun}(\mathcal{C} \otimes \mathcal{D}, \mathcal{E})$ 에서 $\mathrm{Fun}_{\mathrm{oplax}}(\mathcal{C} \times \mathcal{D}, \mathcal{E})$ 로의 제약 함수는 완전히 충실하며, 그 본질적 상은 특정 조건을 만족하는 함수들로 구성된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스케일드 심플리셜 세트 모델에서 $(\infty,2)$-카테고리에 대해 그레이 텐서 곱을 어떻게 정의할 수 있을까? 이 곱이 결합법칙을 만족하고 이중카테고리적 모델 구조를 유지하는가?
• RQ2 $(\infty,2)$-카테고리의 맥락에서 올락 함수를 포함한 유니버설 성질로 그레이 텐서 곱을 특성화할 수 있는가?
• RQ3 제안된 구성이 게이츠기와 로젠블룸이 고차 카테고리 이론에서 사용하는 그레이 곱과 어느 정도 일치하는가?
• RQ4 어떤 조건을 만족해야 올락 함수가 그레이 텐서 곱을 통해 인식될 수 있는가?
• RQ5 그레이 곱의 유니버설 성질이 게이츠기-로젠블룸의 프레임워크에서의 구성과 동치인가?

주요 결과

• 스케일드 심플리셜 세트에서 정의된 그레이 텐서 곱은 실제로 결합법칙을 만족하고, 루리의 이중카테고리적 모델 구조에 대해 왼쪽 쿠일렌 이중함수로 작용한다.
• 제약 사상 $\mathrm{Fun}(\mathcal{C} \otimes \mathcal{D}, \mathcal{E}) \to \mathrm{Fun}_{\mathrm{oplax}}(\mathcal{C} \times \mathcal{D}, \mathcal{E})$ 는 완전히 충실하며, 본질적 상은 두 조건을 만족하는 올락 함수들로 구성된다: 슬라이스 위의 사상 보존 및 특정 2-심플렉스들이 얇은 삼각형으로 보존됨.
• 증명은 특정 집합 $G_{\mathcal{C} \times \mathcal{D}}$ 의 포화 폐쇄를 통해 목표의 모든 얇은 2-심플렉스가 포함됨을 보여줌으로써 이루어지며, 이는 4-심플렉스 $\mathfrak{P}$ 와 그 면 분해를 사용한다.
• 이 구성은 게이츠기와 로젠블룸이 사용한 것과 유사한 유니버설 성질을 제공하므로, 그들의 그레이 곱과 저자의 구성 간의 비교를 가능하게 한다.
• 결과적으로, $(\infty,2)$-카테고리의 기저 $(\infty,2)$-카테고리가 그레이 곱을 통해 현명한 모노이드 구조를 지닌다.
• 저자들은 자신의 그레이 곱이 버티의 프레임워크에서 스트래티피케이션된 세트를 통해 정의된 것과 동치임을 증명하며, 이 두 모델 간의 알려진 동치를 통해 이를 보장한다.