[논문 리뷰] Ground state solutions for the nonlinear fractional Schrodinger-Poisson system

Kaimin Teng|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 22.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 17인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $s \in \left(\frac{3}{4}, 1\right)$ 및 $2 < p < \frac{3+2s}{3-2s}$ 일 때 $\mathbb{R}^3$ 에서 비선형 분수 슈뢰딩거-포아송 시스템에 대해 잠재력 $V(x)$ 가 적절한 조건을 만족할 경우 비자명한 기본 상태 해의 존재성을 확립한다. 증명은 단조성 기법과 전역 컴팩턴스 보조정리에 기반하며, $1 < p \leq 2$ 와 $p = \frac{3+2s}{3-2s}-1$ 의 경우 비존재 결과 또한 증명된다.

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of ground state solutions for the nonlinear fractional Schrödinger-Poisson system \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} (-Δ)^su+V(x)u+ϕu=|u|^{p-1}u, &amp; \hbox{in $\mathbb{R}^3$,} (-Δ)^sϕ=u^2,&amp; \hbox{in $\mathbb{R}^3$,} \end{array} ight. \end{equation*} where $2

연구 동기 및 목표

• 비국소적 분수 라플라스 연산자를 포함한 비선형 분수 슈뢰딩거-포아송 시스템에 대한 기본 상태 해에 관한 결과 부족 문제를 다루기.
• 정규성, 유계성, 그리고 강제성 유형 조건을 포함한 잠재력 $V(x)$ 에 대한 특정 가정 하에 비자명한 기본 상태 해의 존재를 확립하기.
• 지수 범위 전반에서 해 행동의 그림을 완성하기 위해 $1 < p \leq 2$ 와 $p = 2_s^* - 1$ 의 경우에 대한 보조적 비존재 결과 제공하기.
• 표준 절단 및 붕괴 기법이 분수 핵의 다른 행동으로 인해 실패하는 비국소적 분수 설정으로 변분 방법 확장하기.
• 정확한 지수 및 잠재력 조건 하에서 존재성을 증명함으로써 분수 양자역학 및 비국소 PDE 이론에 기여하기.

제안 방법

• 문제는 적절한 함수 공간 위에서 관련 작용 함수를 최소화하는 변분 방법을 통해 다뤄진다.
• 분수 라플라스 연산자의 소볼레프 포함에서의 컴팩턴스 부족을 다루기 위해 단조성 기법이 사용된다.
• 에너지 공간에서 팔라이-스무스 수열의 순차적 컴팩턴스를 회복하기 위해 전역 컴팩턴스 보조정리를 적용한다.
• 분수 라플라스 연산자 $(-\Delta)^s$ 는 푸리에 변환을 통해 정의된다: $(-\Delta)^s u = \mathcal{F}^{-1}(|\xi|^{2s} \mathcal{F}u)$.
• 이론적 적분과 플랑커렐 정리를 사용하여 푸리에 도메인에서 부분 적분을 통해 에너지 추정과 포호자예프 유사 항등식을 유도한다.
• 에너지 항등식과 조건 $(V_1)$ 및 $(V_2)$ 하에서 잠재력 가중 항 $2sV(x) + (x, \nabla V(x))$ 의 양성으로 비존재 결과를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 분수 슈뢰딩거-포아송 시스템에 대해 $2 < p < \frac{3+2s}{3-2s}$ 와 $s \in \left(\frac{3}{4}, 1\right)$ 일 때 비자명한 기본 상태 해가 존재하는가?
• RQ2 어떤 조건에서 잠재력 $V(x)$ 가 이러한 기본 상태 해의 존재를 보장하는가?
• RQ3 특히 임계 지수 또는 $p=2$ 이하의 임계값 이하일 경우 비자명한 해가 존재하지 않는 경우가 있는가?
• RQ4 분수 라플라스 연산자의 비국소성은 국소적 경우와 비교해 해의 존재성 및 붕괴 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 극한 지수에 대해 비존재 결과를 도출하기 위해 포호자 항등식을 분수 설정에 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• 가정 $(V_1)$, $(V_2)$, $(V_3)$ 하에 $2 < p < \frac{3+2s}{3-2s}$ 와 $s \in \left(\frac{3}{4}, 1\right)$ 일 때 비선형 분수 슈뢰딩거-포아송 시스템에 대해 비자명한 기본 상태 해 $(u, \phi)$ 가 존재한다.
• $1 < p \leq 2$ 에 대해 에너지 항등식과 $t \geq 0$ 에서 $t^2 + t^3 - t^{p+1} \geq 0$ 의 비음성으로 비자명한 해의 비존재를 증명한다.
• $p = \frac{3+2s}{3-2s} - 1$ 에 대해 포호자 항등식을 통해 비존재를 입증하며, $\int_{\mathbb{R}^3} (2sV(x) + (x, \nabla V(x))) u^2 \, dx = 0$ 와 $\int_{\mathbb{R}^3} \phi u^2 \, dx = 0$ 는 $u = \phi = 0$ 를 의미함을 보여준다.
• 컴팩턴스 부족을 극복하기 위해 단조성 기법을 사용한 변분 접근을 통해 기본 상태 해를 확보한다.
• 에너지 추정과 플랑커렐 정리를 사용하여 $\|(-\Delta)^{s/2} u\|_{L^2}^2$, $\|(-\Delta)^{s/2} \phi\|_{L^2}^2$, 및 $\int \phi u^2 \, dx$ 를 포함하는 항등식을 도출한다.
• 잠재력 $V(x)$ 는 $2sV(x) + (x, \nabla V(x)) \geq 0$ 와 $V(x) \leq V_\infty$ 를 만족하며, 양의 측도를 가진 집합에서 엄격한 부등식이 성립해야 기본 상태의 존재를 보장한다.