[논문 리뷰] Group-valued momentum maps for actions of automorphism groups

Tobias Diez, Tudor S. Raţiu|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 04.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 52인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 심플렉틱 기하학에서 군가치 모멘타 맵의 새로운 프레임워크를 제안하며, 고전적 모멘타 맵 이론을 대칭성군의 다발 섹션 공간 위에서의 작용으로 확장한다. 이는 고전적 모멘타 맵 이론의 위상적 장애를 해결하고 유체역학, 게이지 이론, 테이히뮐러 이론 등에의 응용을 가능하게 한다. 구체적으로, 각 섹션에 대해 접속을 지닌 주원환다발을 할당하는 군가치 모멘타 맵을 구축한다.

ABSTRACT

The space of smooth sections of a symplectic fiber bundle carries a natural symplectic structure. We provide a general framework to determine the momentum map for the action of the group of bundle automorphism on this space. Since, in general, this action does not admit a classical momentum map, we introduce the more general class of group-valued momentum maps which is inspired by the Poisson Lie setting. In this approach, the group-valued momentum map assigns to every section of the symplectic fiber bundle a principal circle-bundle with connection. The power of this general framework is illustrated in many examples: we construct generalized Clebsch variables for fluids with integral helicity; the anti-canonical bundle turns out to be the momentum map for the action of the group of symplectomorphisms on the space of compatible complex structures; the Teichmüller moduli space is realized as a symplectic orbit reduced space associated to a coadjoint orbit of $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ and spaces related to the other coadjoint orbits are identified and studied. Moreover, we show that the momentum map for the group of bundle automorphisms on the space of connections over a Riemann surface encodes, besides the curvature, also topological information of the bundle.

연구 동기 및 목표

• 표준 모멘타 맵 이론이 위상적 장애로 인해 실패하는 무한차원 심플렉틱 기하학에서 고전적 모멘타 맵 이론을 확장하기 위해.
• 심플렉틱 다발의 구조군 작용을 고려한 일반적인 모멘타 맵 프레임워크를 개발하기 위해.
• 다발의 섹션 공간 위에서 미분형사상군 및 심플렉토모피즘군의 작용에 대해 고전적 모멘타 맵이 존재하지 않는 문제를 해결하기 위해.
• 게이지 이론과 켈러 기하학에서 기존의 모멘타 맵 구성 방식을 하나의 형식론으로 통합하고 일반화하기 위해.
• 구체적인 예를 들어 기하역학적 기계이론, 모듈리 공간 이론, 수학적 물리학 분야에서 이 프레임워크의 유용성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 포아송-라이 구조에 영감을 받아 군가치 모멘타 맵을 고전적 모멘타 맵의 일반화로 도입한다.
• 심플렉틱 다발의 섹션 공간 위에서 자동형사상군의 작용에 대한 모멘타 맵을 구축한다.
• 섬분 통합과 미분 특성류(체거-시몬스 클래스)를 사용하여 모멘타 맵에 곡률과 위상적 자료를 포함시킨다.
• 이 프레임워크를 적용하여 게이지군, 미분형사상군, 심플렉토모피즘군의 섹션 위 작용에 대한 모멘타 맵을 유도한다.
• 미분 특성류의 ힷ 곱을 사용하여 모멘타 맵 구성에서 곡률과 특성류를 연결한다.
• 공첨도 궤도 그림과 축소 기법을 활용하여 테이히뮐러 공간과 같은 모듈리 공간을 심플렉틱 몫으로 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 모멘타 맵이 실패할 경우, 심플렉틱 다발의 섹션 공간 위에서 자동형사상군의 작용에 대해 모멘타 맵을 정의할 수 있는가?
• RQ2 군가치 모멘타 맵은 무한차원 심플렉틱 기하학에서 기하학적 및 위상적 자료를 어떻게 포함시킬 수 있는가?
• RQ3 미분 특성류와 전량화 다발은 어떻게 심플렉틱 다발의 모멘타 맵을 구성하는 데 기여하는가?
• RQ4 섹션 위에서 심플렉토모피즘의 모멘타 맵은 켈러 기하학과 테이히뮐러 이론의 기존 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이 모멘타 맵 프레임워크는 게이지 이론, 유체역학, 모듈리 공간 기하학의 구성 방식을 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 다발 자동형사상군의 섹션 공간 위 작용에 대한 모멘타 맵은 각 섹션에 대해 접속을 지닌 주원환다발을 할당하는 군가치 맵으로 구성된다.
• 심플렉토모피즘군의 섹션 위 작용에 대한 모멘타 맵은 특정 코homological 장애가 사라질 경우에만 존재하며, 否면 군가치 모멘타 맵으로 대체된다.
• 정수 헬리시티를 가진 유체의 일반화된 클렙시 변수는 모멘타 맵 프레임워크를 통해 구성되며, 헬리시티가 전량화 선다발과 연결된다.
• 반정규 다발은 호환 가능한 복소다양체 공간 위에서 심플렉토모피즘군의 작용에 대한 모멘타 맵으로 식별된다.
• 테이히뮐러 모듈리 공간은 SL(2, R)의 공첨도 궤도의 심플렉틱 축소로 실현되며, 동일한 프레임워크를 통해 다른 관련 모듈리 공간들도 식별된다.
• 리만 곡면 위의 접속 공간 위에서 양자화군의 모멘타 맵은 미분 특성류를 통해 곡률과 다발의 위상적 불변량을 모두 포함한다.