[논문 리뷰] Normal Form of Equivariant Maps and Singular Symplectic Reduction in Infinite Dimensions with Applications to Gauge Field Theory

Tobias Diez|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 02.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 106인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 프리셰트 다양체 사이의 등변 맵에 대한 정규형 정리와 무한차원에서의 특이 심플렉틱 축소 이론을 수립하며, 고전적인 Marle-Guillemin-Sternberg 정규형을 무한차원 환경으로 확장한다. 슬라이스 정리와 쿠라니시 유형의 구성 방식을 결합하여, 축소된 위상공간이 코타angent 번들의 설정에서 '시접들'(seams)로 구성된 심플렉틱 다양체의 분해를 증명한다. 이 틀은 양-밀스 및 양-밀스-하이즈 모델을 포함한 게이지 이론들에 적용된다.

ABSTRACT

A local normal form theorem for smooth equivariant maps between Fréchet manifolds is established. Moreover, an elliptic version of this theorem is obtained. The proof these normal form results is inspired by the Lyapunov-Schmidt reduction for dynamical systems and by the Kuranishi method for moduli spaces, and uses a slice theorem for Fréchet manifolds as the main technical tool. As a consequence of this equivariant normal form theorem, the abstract moduli space obtained by factorizing a level set of the equivariant map with respect to the group action carries the structure of a Kuranishi space. Moreover, the theory of singular symplectic reduction is developed in the infinite-dimensional Fréchet setting. By refining the above construction, a normal form for momentum maps similar to the classical Marle-Guillemin-Sternberg normal form is established. Analogous to the reasoning in finite dimensions, this normal form result is then used to show that the reduced phase space decomposes into smooth manifolds each carrying a natural symplectic structure. Finally, the singular symplectic reduction scheme is further investigated in the situation where the original phase space is an infinite-dimensional cotangent bundle. The fibered structure of the cotangent bundle yields a refinement of the usual orbit-momentum type strata into so-called seams. Using a suitable normal form theorem, it is shown that these seams are manifolds. Taking the harmonic oscillator as an example, the influence of the seams on dynamics is illustrated. The general results stated above are applied to various gauge theory models. The moduli spaces of anti-self-dual connections in four dimensions and of Yang-Mills connections in two dimensions is studied. Moreover, the stratified structure of the reduced phase space of the Yang-Mills-Higgs theory is investigated in a Hamiltonian formulation.

연구 동기 및 목표

• 운동량 맵에 대한 고전적 정규형 정리들을 무한차원 프리셰트 다양체로 확장하기 위해.
• 특히 게이지 이론적 위상공간을 위한 무한차원에서의 특이 심플렉틱 축소에 대한 엄밀한 틀을 개발하기 위해.
• 코타angent 번들의 섬유화된 구조에서 비롯되는 '시접들'(seams)을 식별함으로써 축소된 위상공간의 분할을 정교화하기 위해.
• 특이 설정에서도 축소된 공간이 부드러운 심플렉틱 다양체로 분해됨을 입증하기 위해.
• 추상적 틀을 실제 게이지 장 이론들—특히 자기 dual 및 양-밀스 연결, 양-밀스-하이즈 이론—에 적용하기 위해.

제안 방법

• 프리셰트 다양체 사이의 부드러운 등변 맵에 대한 정규형을 구성하기 위해 리아풀로프-슐라이트 축소와 쿠라니시 방법을 적응한다.
• 국소 정규형을 달성하기 위한 중심 기술 도구로 프리셰트 다양체에 대한 슬라이스 정리를 활용한다.
• 수준집합 위의 군 작용에 의해 몫을 취한 추상 모듈리 공간을 구성하며, 이것이 쿠라니시 공간의 구조를 상속함을 보여준다.
• 운동량 맵에 대한 정규형 정리를 프리셰트 설정에서의 마를-기야민-스터너버그 정리의 무한차원 해석으로 정교화한다.
• 위상공간의 코타angent 번들의 구조를 분석하여 '시접들'—표준 궤도-운동량 유형의 분할을 넘는 정교화된 분할—을 식별한다.
• 정교화된 정규형을 사용하여 시접들이 부드러운 부분다양체임을 증명하고, 축소된 공간 위에 분할된 심플렉틱 구조를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 프리셰트 설정에서 등변 맵에 대한 정규형 정리가 수립될 수 있는가?
• RQ2 군 작용이 있는 무한차원 심플렉틱 다양체로 특이 심플렉틱 축소를 일반화할 수 있는가?
• RQ3 코타angent 번들의 섬유화된 구조가 축소된 위상공간의 분할을 정교화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 축소된 공간의 정교화된 분할—'시접들'—은 부드러운 다양체이며 자연스러운 심플렉틱 구조를 갖는가?
• RQ5 정규형과 축소에 관한 추상적 결과들이 양-밀스 및 양-밀스-하이즈와 같은 실제 게이지 장 이론에 어떻게 적용되는가?

주요 결과

• 부드러운 등변 맵에 대한 국소 정규형 정리가 프리셰트 다양체 사이에 수립되었으며, 유한차원 결과를 일반화한다.
• 군 작용에 의해 수준집합을 몫으로 취한 추상 모듈리 공간이 쿠라니시 공간의 구조를 지닌다는 것이 입증되었다.
• 운동량 맵에 대한 마를-기야민-스터너버그 정리의 무한차원 해석이 프리셰트 설정에서 도출되었다.
• 정교화된 축소 체계 하에 특이한 경우에도 축소된 위상공간이 부드러운 심플렉틱 다양체로 분해됨을 입증하였다.
• 코타angent 번들의 설정에서는 표준 궤도-운동량 분할이 '시접들'로 정교화되며, 정규형을 통해 이들이 부드러운 부분다양체임을 증명하였다.
• 조화 진동자 모델은 시접들이 동역학에 영향을 미친다는 것을 보여주며, 축소된 시스템에서 기하학적·물리적 중요성을 확인한다.