[논문 리뷰] Groupoid actions on $C^*$-correspondences

Valentin Deaconu|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 28.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 C*-대응에 대한 군 작용을 군궤적 작용으로 일반화하며, 특정 조건 하에서 Cuntz-Pimsner 대수의 군궤적 곱이 군궤적 대응의 Cuntz-Pimsner 대수와 동형임을 증명한다. 또한 군궤적 작용 하의 고정점 대수와 Doplicher-Roberts 대수가 동형임을 보이며, 이러한 결과를 이용해 군궤적이 컴팩트 이소트로피를 가진 도형 C*-대수의 군궤적 곱이 다른 도형 C*-대수와 안정적으로 동형임을 증명한다.

ABSTRACT

Let the groupoid $G$ with unit space $G^0$ act via a representation $ρ$ on a $C^*$-correspondence ${\mathcal H}$ over the $C_0(G^0)$-algebra $A$. By the universal property, $G$ acts on the Cuntz-Pimsner algebra ${\mathcal O}_{\mathcal H}$ which becomes a $C_0(G^0)$-algebra. The action of $G$ commutes with the gauge action on ${\mathcal O}_{\mathcal H}$, therefore $G$ acts also on the core algebra ${\mathcal O}_{\mathcal H}^{\mathbb T}$. We study the crossed product ${\mathcal O}_{\mathcal H} times G$ and the fixed point algebra ${\mathcal O}_{\mathcal H}^G$ and obtain similar results as in \cite{D}, where $G$ was a group. Under certain conditions, we prove that ${\mathcal O}_{\mathcal H} times G\cong {\mathcal O}_{\mathcal H times G}$, where $\mathcal H times G$ is the crossed product $C^*$-correspondence and that ${\mathcal O}_{\mathcal H}^G\cong{\mathcal O}_ρ$, where ${\mathcal O}_ρ$ is the Doplicher-Roberts algebra defined using intertwiners. The motivation of this paper comes from groupoid actions on graphs. Suppose $G$ with compact isotropy acts on a discrete locally finite graph $E$ with no sources. Since $C^*(G)$ is strongly Morita equivalent to a commutative $C^*$-algebra, we prove that the crossed product $C^*(E) times G$ is stably isomorphic to a graph algebra. We illustrate with some examples.

연구 동기 및 목표

• C*-대응에 대한 군 작용 결과를 군궤적 작용의 맥락으로 일반화하기.
• 군궤적 작용에 대한 C*-대응의 군궤적 곱 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}} \rtimes G$ 와 고정점 대수 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^{G}$ 의 구조를 연구하기.
• 적절한 조건 하에서 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}} \rtimes G$ 와 $\mathcal{O}_{\mathcal{H} \rtimes G}$ 사이, 그리고 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^{G}$ 와 Doplicher-Roberts 대수 $\mathcal{O}_{\rho}$ 사이의 동형관계를 확립하기.
• 결과를 방향성 있는 그래프에 대한 군궤적 작용에 적용하여, 군궤적이 컴팩트 이소트로피를 가질 경우 도형 C*-대수의 군궤적 곱이 다른 도형 C*-대수와 안정적으로 동형임을 증명하기.

제안 방법

• 표현 $\rho: G \to \mathcal{L}_\mathbb{C}(\mathcal{H})$ 를 통해 $C_0(G^0)$ 위의 C*-대응 $\mathcal{H}$ 에 대한 군궤적 작용을 정의하기.
• 유일성 성질을 이용해 군궤적 작용을 Cuntz-Pimsner 대수 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}$ 로 확장하여 $C_0(G^0)$-대수로 만들기.
• 군궤적 작용이 $\mathbb{T}$ 의 게이지 작용과 가환함을 이용해 핵심 AF-대수 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^\mathbb{T}$ 에 작용을 유도하기.
• 적절한 조건 하에서 $J_{\mathcal{H}} \rtimes G \cong J_{\mathcal{H} \rtimes G}$ 를 가정하여 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}} \rtimes G \cong \mathcal{O}_{\mathcal{H} \rtimes G}$ 를 확립하며, 군 작용의 결과를 일반화하기.
• 표현 $\rho$ 의 텐서 거듭제곱의 인터티너를 이용해 Doplicher-Roberts 대수 $\mathcal{O}_{\rho}$ 를 구성하고, 적절한 조건 하에서 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^G \cong \mathcal{O}_{\rho}$ 를 증명하기.
• 이론 프레임워크를 이산적이고 국소적으로 유한하며 근원이 없는 그래프 $E$ 에 대한 군궤적 작용에 적용하며, 군궤적 대응의 분해를 통해 $C^*(E) \rtimes G$ 가 도형 C*-대수와 안정적으로 동형임을 이용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Cuntz-Pimsner 대수의 군궤적 곱 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}} \rtimes G$ 가 군궤적 대응의 Cuntz-Pimsner 대수 $\mathcal{H} \rtimes G$ 와 동형이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 고정점 대수 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^G$ 가 $\rho^n$ 의 인터티너를 이용해 구성된 Doplicher-Roberts 대수 $\mathcal{O}_{\rho}$ 와 동형이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 방향성 있는 그래프 $E$ 에 대해 컴팩트 이소트로피를 가진 군궤적 작용이 군궤적 곱 $C^*(E) \rtimes G$ 의 구조에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 군궤적이 컴팩트 이소트로피를 가질 경우, $C^*(E) \rtimes G$ 가 도형 C*-대수와 안정적으로 동형임을 보일 수 있는가?

주요 결과

• Katsura 이상수 조건이 $J_{\mathcal{H}} \rtimes G \cong J_{\mathcal{H} \rtimes G}$ 를 만족할 경우, 군궤적 곱 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}} \rtimes G$ 는 $\mathcal{O}_{\mathcal{H} \rtimes G}$ 와 동형이다.
• 고정점 대수 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^G$ 는 표현 $\rho$ 의 텐서 거듭제곱의 인터티너를 이용해 정의된 Doplicher-Roberts 대수 $\mathcal{O}_{\rho}$ 와 동형이다.
• 컴팩트 이소트로피를 가진 군궤적 $G$ 가 이산적이고 국소적으로 유한하며 근원이 없는 그래프 $E$ 에 작용할 경우, 군궤적 곱 $C^*(E) \rtimes G$ 는 도형 C*-대수와 안정적으로 동형이다.
• 핵심 AF-대수 $C^*(E)^\mathbb{T}$ 는 군궤적 작용 하에서도 유지되며, $C^*(E)^\mathbb{T} \rtimes G \cong (C^*(E) \rtimes G)^\mathbb{T}$ 는 AF-대수이다.
• $C^*$-대응 $\mathcal{H}_E \rtimes G$ 는 $C_0(E^0) \rtimes G$ 위에서 분해되며, 이는 직접 합의 행렬 대수와 강한 모리타 동치이므로 군궤적 곱에 대한 도형 모델을 구성할 수 있다.
• 최종적으로 얻어진 도형 대수의 정점 수는 $C_0(E^0) \rtimes G$ 의 스펙트럼의 기수와 같으며, 간선 수는 최소 $M_{n(i)}$–$M_{n(j)}$-대응의 분해에 대응한다.