[논문 리뷰] Groupoids in categories with pretopology

Ralf Meyer, Chenchang Zhu|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 33인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 전토법(pretopology)를 갖춘 범주에서 군oids, 군oid 작용, 그리고 주다발(principal bundles)에 대한 통합적 프레임워크를 개발한다. 이는 Hilsum–Skandalis 사상과 anafunctor와 같은 개념을 일반화하며, 국소화된 함자들에 대한 두 접근 방식—스팬(span)을 통한 anafunctor와 이중다발(bibundle)을 통한 Hilsum–Skandalis 사상—의 동치성을 확립한다. 또한 기하학적 및 무한차원 설정에서 Morita 동치를 명확히 하기 위해 '기본 작용'(basic actions)과 '작용자'(actors)와 같은 새로운 개념을 도입한다.

ABSTRACT

We survey the general theory of groupoids, groupoid actions, groupoid principal bundles, and various kinds of morphisms between groupoids in the framework of categories with pretopology. We study extra assumptions on pretopologies that are needed for this theory. We check these extra assumptions in several categories with pretopologies. Functors between groupoids may be localised at equivalences in two ways. One uses spans of functors, the other bibundles (commuting actions) of groupoids. We show that both approaches give equivalent bicategories. Another type of groupoid morphisms, called actors, are closely related to functors between the categories of groupoid actions. We also generalise actors using bibundles, and show that this gives another bicategory of groupoids.

연구 동기 및 목표

• 전토법을 갖춘 임의의 범주로 군oids, 작용, 주다발 이론을 일반화하여, 기존의 위상수학적 및 미분기하학적 범주에서의 결과를 확장한다.
• 적절한 조건 하에서 군oid 사상의 다양한 개념—함자, anafunctor, 이중다발 함자, 작용자—간의 관계를 규명하여, 이들이 이분류적으로 동치임을 보인다.
• 기하학적 범주에서 주군oid 작용을 새롭게 특성화하기 위해 '기본 작용'과 '기본 군oid'의 개념을 도입하고 연구한다.
• 특히 무한차원 및 비Hausdorff 설정에서 Morita 동치가 잘 작동하는 조건을 조사하고, 이중몫공간 위상(biquotient topology)에서의 장애 요소를 규명한다.
• anafunctor의 이분류적 범주와 이중다발 함자의 이분류적 범주가 동치임을 증명하고, ana-동형사상과 이중다발 동치가 일치함을 보여, 군oid 사상에 대한 두 주요 접근 방식을 통합한다.

제안 방법

• 전토법을 갖춘 범주에서 군oid를 정의하는 일반 이론을 개발하며, 이는 전토법에서의 커버링을 이루는 소스 및 타겟 사상으로 정의된다.
• 등가관계에 국소화되는 함자들의 스파이널(span)으로서 'anafunctor'를 도입하고, 군oid가 공간 위에서 작용하는 방식으로 '이중다발 함자'를 정의하며, 이는 Hilsum–Skandalis 사상의 일반화이다.
• 스팬에서 이중다발으로, 그리고 그 반대 방향으로의 변환을 통해 anafunctor의 이분류적 범주와 이중다발 함자의 이분류적 범주가 동치임을 증명한다.
• 군oid 작용의 범주를 보존하는 함자로 '작용자'를 정의하고, 이중다발을 사용하여 이를 '이중다발 작용자'로 일반화하며, 표준적 작용자 구성과의 동치성을 보인다.
• Čech 군oid와 '기본 작용'의 개념을 사용하여 주다발를 특성화하며, 이러한 작용이 사영 사상이 surjective submersion인 주다발과 동치임을 증명한다.
• 이론을 위상공간, 다양체(유한 및 무한차원), 그리고 국소볼록 다양체(서지티브 서머ersion이 커버링으로 사용되는 경우)와 같은 범주에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 전토법 조건 하에서 anafunctor의 이분류적 범주와 이중다발 함자의 이분류적 범주가 동치가 되는가?
• RQ2 군oid 작용이 '기본적'이란 뜻—즉, 주다발과 동치—이 되는 조건는 무엇인가? 특히 무한차원 또는 비Hausdorff 설정에서의 경우에 대해.
• RQ3 biquotient 사상의 표준 전토법일 때, 군oid의 Morita 동치가 여전히 동치관계를 유지하는가?
• RQ4 이중다발을 사용하여 '작용자'의 개념을 일반화하면, 표준 작용자 범주와 이분류적으로 동치인 범주를 얻을 수 있는가?
• RQ5 군oid 작용이 전토법의 관점에서 국소적으로 자명(local triviality)이 되는 데 필요한 충분조건은 무엇이며, 이는 국소 섹션의 존재와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 전토법에서 커버링이 surjective submersions인 범주, 예를 들어 유한차원 및 무한차원 다양체에서, anafunctor의 이분류적 범주와 이중다발 함자의 이분류적 범주는 동치이다.
• anafunctor 동치와 이중다발 동치는 일치하며, 이는 서로 다른 형식론 간의 Morita 동치 개념을 통합한다.
• 국소볼록 다양체에서 커버링을 surjective submersion로 취할 경우, 군oid 작용과 주다발 이론은 잘 작동하지만, 커버링 이중다발 함자와 이중다발 작용자는 더 강한 가정이 필요하다.
• Hausdorff 위상공간의 범주에서 biquotient 전토법을 사용할 경우, 동치인 군oid는 작용의 범주가 서로 동치가 아닐 수 있으며, 이는 Morita 동치가 동치관계로 작동하지 않을 수 있음을 시사한다.
• 유한차원 및 Hilbert 다양체에서는 군oid 작용이 기본적(즉, 주다발을 유도함)이 되는 것과 자유(free)이고 올바른(proper)임이 동치이지만, Banach 및 국소볼록 다양체에서는 보조공간이 존재하지 않아 이 성질이 성립하지 않는다.
• 기본 작용의 궤도 공간은 몫사상이 surjective submersion가 되게 하는 유일한 미분다양체 구조를 갖는다. 또한 작용은 전토법의 관점에서 국소적으로 자명하다.