[논문 리뷰] Guarded Cubical Type Theory: Path Equality for Guarded Recursion

Lars Birkedal, Aleš Bizjak외 4명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 16.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 21인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 경계가 있는 입방형 유형 이론(GCTT)을 소개한다. GCTT는 입방형 유형 이론의 계산 가능한 경로 등식과 경계가 있는 종속 유형 이론의 경계가 있는 재귀를 통합한다. 입방형 유형 이론의 간격 유형 $\mathbb{I}$를 고정점 전개를 제어하는 데 통합함으로써, GCTT는 결정 가능한 유형 검사와 정규성(canonicity)을 유지하면서도, 공존적 구성과 같은 비트리비얼한 확장 등식에 대한 증명을 지원할 수 있다.

ABSTRACT

This paper improves the treatment of equality in guarded dependent type theory (GDTT), by combining it with cubical type theory (CTT). GDTT is an extensional type theory with guarded recursive types, which are useful for building models of program logics, and for programming and reasoning with coinductive types. We wish to implement GDTT with decidable type-checking, while still supporting non-trivial equality proofs that reason about the extensions of guarded recursive constructions. CTT is a variation of Martin-Löf type theory in which the identity type is replaced by abstract paths between terms. CTT provides a computational interpretation of functional extensionality, is conjectured to have decidable type checking, and has an implemented type-checker. Our new type theory, called guarded cubical type theory, provides a computational interpretation of extensionality for guarded recursive types. This further expands the foundations of CTT as a basis for formalisation in mathematics and computer science. We present examples to demonstrate the expressivity of our type theory, all of which have been checked using a prototype type-checker implementation, and present semantics in a presheaf category.

연구 동기 및 목표

• 등식 반사성으로 인해 경계가 있는 종속 유형 이론(GDTT)에서의 유형 검사의 결정 불가능성 문제를 해결하기 위해.
• 등식 반사성 없이도 경계가 있는 재귀 유형에 대한 비트리비얼한 확장 등식 증명을 지원하면서도 정규성 또는 결정 가능성을 희생하지 않기 위해.
• 입방형 유형 이론(CTT)의 경로 등식을 사용하여 경계가 있는 재귀 유형에 대한 확장성의 계산적 해석을 제공하기 위해.
• GCTT의 타당한 범주론적 의미론을 $\mathcal{C} \times \omega$ 위의 프레시프 토포스에서 수립하기 위해.
• 결정 가능하고 계산 가능한 등식을 갖는 유형 이론에서 프로그램 논리와 공존적 추론을 형식화하기 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 입방형 유형 이론(CTT)의 간격 유형 $\mathbb{I}$를 경계가 있는 종속 유형 이론(GDTT)에 통합하여 고정점 전개를 제어함으로써, GDTT와 CTT를 통합한다.
• 인도크티브인 동치 유형 대신 경로 유형을 사용함으로써, 기능적 및 경계가 있는 확장성의 계산적 해석이 가능해진다.
• 새로운 유형 생성자 $\triangleright$를 '다음' 유형을 위해 정의하며, 경로 기반의 등식 규칙을 통해 경계가 있는 재귀적 구성의 확장을 다룰 수 있다.
• 프레시프 토포스 $\widehat{\mathcal{C} \times \omega}$에서 GCTT의 모델을 구축하며, 입방형 집합의 피브레이션과 De Morgan 대수의 내부 논리 구조를 사용한다.
• 예제의 검증을 위해 프로토타입 유형 검사기를 활용하였으며, 스트림 함수와 경계가 있는 고정점에 관한 증명을 포함한다.
• 입방형 집합의 내부 논리를 활용하여 동치 유형을 모델링하고, 경계가 있는 재귀의 존재 속에서도 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입방형 유형 이론의 경로 등식을 사용하여 등식 반사 없이도 경계가 있는 재귀 유형에 대한 확장성의 계산적 해석을 제공할 수 있는가?
• RQ2 경계가 있는 입방형 유형 이론이 결정 가능하고 정규성을 유지하면서도 경계가 있는 재귀적 구성의 확장을 다룰 수 있는 비트리비얼한 증명을 지원할 수 있는가?
• RQ3 입방형 유형 이론의 간격 유형을 사용하여 경계가 있는 재귀 유형의 고정점 전개를 제어할 수 있는가?
• RQ4 어떤 범주론적 의미론이 프레시프 토포스에서 경계가 있는 입방형 유형 이론의 타당성을 뒷받침하는가?
• RQ5 $\triangleright$와 경로 유형 간의 상호작용 원칙이 공존적 유형에 대해 구성적이고 계산적으로 의미 있는 방식으로 추론을 가능하게 하는 방식은 무엇인가?

주요 결과

• 경계가 있는 입방형 유형 이론(GCTT)은 입방형 유형 이론의 경로 기반 등식과 경계가 있는 종속 유형 이론의 재귀를 성공적으로 통합하여, 등식 반사 없이도 확장성 추론이 가능하다.
• 이론은 경계가 있는 확장성의 계산적 해석을 지원한다: $\triangleright \operatorname{Id} A\, t\, u$ 유형의 항들은 경로 $\operatorname{Id} (\triangleright A)\, (\mathsf{next}\, t)\, (\mathsf{next}\, u)$로 매핑될 수 있다.
• 프레시프 토포스 $\widehat{\mathcal{C} \times \omega}$에서 GCTT에 대한 타당한 의미론이 수립되었으며, 입방형 집합의 피브레이션과 이분법적 성질을 갖는 내부 De Morgan 대수를 사용한다.
• 이 모델은 입방형 집합의 전체 내부 논리, 즉 조합 연산과 피브라ント 유형의 유니버스를 지원하여, 경계가 있는 재귀를 포함한 CTT의 완전한 모델을 가능하게 한다.
• 스트림 함수와 경계가 있는 고정점에 관한 예제들이 프로토타입 구현에서 공식적으로 검증되었으며, 이는 시스템의 표현력과 정확성을 확인한다.
• 이 접근법은 결정 가능하고 정규성을 갖는 유형 이론에서 프로그램 논리와 공존적 추론을 형식화하기 위한 기초를 제공하며, 프로토타입 구현에 의해 뒷받침된다.