[논문 리뷰] H-Harmonic Maass-Jacobi Forms of Degree 1: The Analytic Theory of Some Indefinite Theta Series

Martin Raum|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 24.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 서명 (r+s,s)를 가진 격자에 대해 1차수 H-조화 마이스-자키 형식을 도입하며, Zwegers의 µ-함수를 '곱형식'의 부정부호 이차형식으로 일반화한다. 이 형식들에 대한 분해를 수립하고, 두 변수 µ-함수의 정칙성과 일변수 실해석적 성분으로의 분할을 설명하며, 토퍼션 점으로의 제약 조건이 고차수 조화 약한 마이스-자키 형식을 유도함으로써, 혼합 모크 모듈라 형식의 프레임워크 내에서 부정부호 이차형식의 모듈라 완성에 대한 통합을 이룬다.

ABSTRACT

It was shown in previous work that the one-variable $\widehatμ$-function defined by Zwegers (and Zagier) and his indefinite theta series attached to lattices of signature $(r\!+\!1,1)$ are both Heisenberg harmonic Maaß-Jacobi forms. We extend the concept of Heisenberg harmonicity to Maaß-Jacobi forms of arbitrary many elliptic variables, and produce indefinite theta series of "product type" for non-degenerate lattices of signature $(r\!+\!s,s)$. We thus obtain a clean generalization of $\widehatμ$ to these negative definite lattices. From restrictions to torsion points of Heisenberg harmonic Maaß-Jacobi forms, we obtain harmonic weak Maaß forms of higher depth in the sense of Zagier and Zwegers. In particular, we explain the modular completion of some, so-called degenerate indefinite theta series in the context of higher depth mixed mock modular forms. The structure theory for Heisenberg harmonic Maaß-Jacobi forms developed in this paper also explains a curious splitting of Zwegers's two-variable $\widehatμ$-function into the sum of a meromorphic Jacobi form and a one-variable Maaß-Jacobi form.

연구 동기 및 목표

• 다중 타원 변수를 가진 마이스-자키 형식에 대해 히젠베르크 조화성의 개념을 확장하는 것.
• 서명 (r+s,s)를 가진 비퇴화 격자를 위한 '곱형식'의 부정부호 이차형식을 구성하며, µ-함수를 일반화하는 것.
• 고차수 혼합 모크 모듈라 형식의 시각에서 부정부호 이차형식의 퇴화된 경우의 모듈라 완성을 설명하는 것.
• Zwegers의 두 변수 µ-함수의 이상한 분할이 정칙 자키 형식과 일변수 실해석적 형식으로 나뉘는 데에 대해 표현 이론적 설명을 제공하는 것.

제안 방법

• 확장된 자키 군에 대해 카시미르 연산자의 고유함수로서 다중 타원 변수로의 일반화를 통한 H-조화 마이스-자키 형식을 도입한다.
• 서명 (r+s,s)를 가진 격자를 위한 일반화된 µ-함수를 블록으로 사용하여 '곱형식'의 부정부호 이차형식을 구성한다.
• ξJH[B] 연산자를 적용하여 H-조화 마이스-자키 형식과 벡터값 정칙 자키 형식 사이의 관계를 설정한다.
• H-조화성 유형 B에 대한 귀납법을 통해 H-조화 형식을 더 작은 H-조화성 유형을 가진 성분들로 분해한다.
• H-조화 마이스-자키 형식을 토퍼션 점으로 제약하여 고차수 조화 약한 마이스-자키 형식을 얻는다.
• 반복된 ξ-연산자와 성장 조건을 통한 고차수 조화 약한 마이스-자키 형식의 정의를 통해 퇴화된 이차형식의 모듈라 완성을 연구할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마이스-자키 형식의 맥락에서 히젠베르크 조화성 개념을 하나의 타원 변수에서 다중 타원 변수로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 서명 (r+s,s)를 가진 격자에 대한 부정부호 이차형식의 해석적 구조는 무엇이며, 일반화된 µ-함수와의 관계는 어떠한가?
• RQ3 왜 Zwegers의 두 변수 µ-함수는 정칙 자키 형식과 일변수 실해석적 마이스-자키 형식으로 분할되는가? 이는 체계적으로 설명될 수 있는가?
• RQ4 H-조화 마이스-자키 형식을 토퍼션 점으로 제약할 경우 고차수 조화 약한 마이스-자키 형식이 어떻게 유도되는가?
• RQ5 퇴화된 부정부호 이차형식의 모듈라 완성은 고차수 혼합 모크 모듈라 형식의 프레임워크 내에서 이해될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 서명 (r+s,s)를 가진 격자에 대해 H-조화 마이스-자키 형식을 구성하며, 음의 정부호 유형의 부정부호 격자로 µ-함수를 일반화한다.
• H-조화 형식의 분해를 통한 자연스러운 설명을 통해 두 변수 µ-함수의 정칙 자키 형식과 일변수 실해석적 마이스-자키 형식으로의 분할을 제공한다.
• H-조화 마이스-자키 형식을 토퍼션 점으로 제약하면 H-조화성 유형 B에 대해 깊이 #B의 조화 약한 마이스-자키 형식이 유도된다.
• H-조화 마이스-자키 형식의 구조 이론은 퇴화된 부정부호 이차형식의 모듈라 완성을 고차수 혼합 모크 모듈라 프레임워크의 일부로 설명한다.
• ξJH[B] 연산자를 통한 H-조화 형식의 분해는 더 단순한 H-조화성 유형으로의 귀납적 감소를 가능하게 하여 청결한 구조 이론을 수립한다.
• 논문은 성장 조건 f(iy) = O(e^{ay}) (y → ∞ 일 때) 가 고차수 조화 약한 마이스-자키 형식에 충분함을 증명하며, 이는 산술적 응용에서의 활용을 가능하게 한다.