[논문 리뷰] Hamiltonian surgery: Cheeger-type gap inequalities for nonpositive (stoquastic), real, and Hermitian matrices

Michael Jarret|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 18.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 해밀토니안을 $ H = L + W $로 분해함으로써, 비음성(스토쿠아스틱), 실수, 허니티안 행렬에 대한 체거 유형 부등식을 수립한다. 여기서 $ L $은 그래프 라플라스 행렬이고 $ W $는 교란 행렬이다. 스펙트럼 갭 $ \gamma $ 에 대한 경계를 가중 치수 체거 상수 $ h $ 로 유도하며, 대각 행렬인 $ W $ 에 대해 $ 2h \geq \gamma \geq \sqrt{h^2 + d_{\text{max}}^2} - d_{\text{max}} $ 를 보이고, 스펙트럼 피드백을 통한 적응형 양자 어디아바틱 알고리즘으로의 길을 제시한다.

ABSTRACT

Cheeger inequalities bound the spectral gap $γ$ of a space by isoperimetric properties of that space and vice versa. In this paper, I derive Cheeger-type inequalities for nonpositive matrices (aka stoquastic Hamiltonians), real matrices, and Hermitian matrices. For matrices written $H = L+W$, where $L$ is either a combinatorial or normalized graph Laplacian, I show that: (1) when $W$ is diagonal and $L$ has maximum degree $d_{\max}$, $2h \geq γ\geq \sqrt{h^2 + d_{\max}^2}-d_\max$; (2) when $W$ is real, we can often route negative-weighted edges along positive-weighted edges such that the Cheeger constant of the resulting graph obeys an inequality similar to that above; and (3) when $W$ is Hermitian, the weighted Cheeger constant obeys $2h \geq γ$ here $h$ is the weighted Cheeger constant of $H$. This constant reduces bounds on $γ$ to information contained in the underlying graph and the Hamiltonian's ground-state. If efficiently computable, the constant opens up a very clear path towards adaptive quantum adiabatic algorithms, those that adjust the adiabatic path based on spectral structure. I sketch a bashful adiabatic algorithm that aborts the adiabatic process early, uses the resulting state to approximate the weighted Cheeger constant, and restarts the process using the updated information. Should this approach work, it would provide more rigorous foundations for adiabatic quantum computing without extit{a priori} knowledge of the spectral gap.

연구 동기 및 목표

• 허니티안 행렬 $ H $ 의 스펙트럼 갭 $ \gamma $ 와 그 기저 상태 $ \phi_0 $ 의 기하적 성질 간의 관계를 형식화하는 것, 특히 등면적 상수를 통해.
• 해밀토니안 분해 $ H = L + W $ 를 통해 고전적 체거 부등식을 비음성(스토쿠아스틱), 실수, 일반 허니티안 행렬으로 확장하는 것, 여기서 $ L $ 은 그래프 라플라스 행렬이다.
• 기저 상태 $ \phi_0 $ 의 기하적 구조를 반영하는 가중 체거 상수 $ h $ 를 도입하여 더 날카운 스펙트럼 갭 경계를 가능하게 하는 것.
• 진동 중에 $ h $ 를 추정하고 경로를 조정함으로써 $ h $ 를 적응형 양자 어디아바틱 알고리즘에 활용할 수 있는지 탐색하는 것.
• 특히 $ W $ 가 대각 행렬, 실수, 또는 허니티안일 경우, 그래프 구조와 $ H $ 의 기저 상태를 이용한 $ \gamma $ 의 엄밀한 하한 경계를 수립하는 것.

제안 방법

• 허니티안 행렬 $ H $ 를 $ H = L + W $ 로 분해하며, 여기서 $ L $ 은 조합적 또는 정규화된 그래프 라플라스 행렬이고 $ W $ 는 교란 행렬이다.
• 기저 상태 $ \phi_0 $ 를 기반으로 한 가중 체거 상수 $ h $ 를 정의하며, 이는 고전적 체거 상수를 비균일 분포로 일반화한다.
• 변분 원리와 등면적 부등식을 활용하여 스펙트럼 갭 $ \gamma $ 에 대한 경계를 유도하며, 특히 레일리 몫과 기저 상태에서 유도된 비음수 함수 $ g $ 를 활용한다.
• 대각 행렬인 $ W $ 에 대해 $ 2h \geq \gamma \geq \sqrt{h^2 + d_{\text{max}}^2} - d_{\text{max}} $ 를 증명하며, 여기서 $ d_{\text{max}} $ 는 $ L $ 의 최대 차수이다.
• 실수 행렬인 $ W $ 에 대해, 음수 가중치를 가진 간선을 양수 간선을 따라 라우팅함으로써 체거 유형 부등식을 유지할 수 있음을 보이며, 이러한 라우팅이 가능하다는 가정 하에 성립한다.
• 일반 허니티안 행렬인 $ W $ 에 대해 $ 2h \geq \gamma $ 를 증명하며, 여기서 $ h $ 는 $ H $ 의 가중 체거 상수이며, 갭 경계를 그래프 및 기저 상태의 구조로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음성(스토쿠아스틱) 행렬, 즉 비대각 성분이 음성이 아닌 경우에 체거 유형 부등식을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 혼합 부호를 가진 비대각 성분을 가진 실수 행렬에 대해 스펙트럼 갭 경계를 어떻게 도출할 수 있는가, 특히 부호 문제의 영향을 고려할 때 어떻게 할 수 있는가?
• RQ3 스펙트럼 갭 $ \gamma $ 와 기저 상태 $ \phi_0 $ 의 기하적 구조 간의 관계는 가중 체거 상수로 어떻게 기록할 수 있는가?
• RQ4 가중 체거 상수 $ h $ 는 효율적으로 근사 가능할 수 있으며, 만약 그렇다면 어떻게 적응형 양자 어디아바틱 알고리즘을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ5 작은 스펙트럼 갭은 반드시 기저 상태 분포에 블로킹 현상이 있음을 의미하는가, 그리고 어떤 조건에서 이러한 함의가 성립하는가?

주요 결과

• 대각 행렬인 $ W $ 를 가진 스토쿠아스틱 해밀토니안에 대해 스펙트럼 갭은 $ \gamma \geq \sqrt{h^2 + d_{\text{max}}^2} - d_{\text{max}} $ 를 만족하며, 여기서 $ d_{\text{max}} $ 는 기저 그래프의 최대 차수이다.
• 대각 행렬인 $ W $ 와 그래프 라플라스 행렬인 $ L $ 이면 $ 2h \geq \gamma \geq \sqrt{h^2 + d_{\text{max}}^2} - d_{\text{max}} $ 경계가 성립하며, 이는 스펙트럼 갭을 그래프 구조와 기저 상태 기하학과 연결한다.
• 실수 행렬인 $ W $ 에 대해 음수 가중치 간선을 양수 간선을 따라 라우팅함으로써 수정된 체거 부등식을 도출할 수 있으며, 타당한 라우팅이 가능하면 등면적 경계를 유지한다.
• 일반 허니티안 행렬인 $ W $ 에 대해 $ 2h \geq \gamma $ 가 성립하며, 여기서 $ h $ 는 $ H $ 의 가중 체거 상수이며, 갭 추정을 그래프 및 기저 상태 데이터로 환원한다.
• 논문은 $ h $ 가 효율적으로 근사 가능하다면, 조기 종료를 시도하고 $ h $ 를 추정하며 경로 정보를 업데이트하여 재시작하는 '비밀스러운 어디아바틱 알고리즘'을 가능하게 할 수 있다고 제안한다. 이는 런타임 보장을 향상시킨다.
• 작은 스펙트럼 갭이 항상 기저 상태 $ \phi_0 $ 에 블로킹 현상이 있음을 의미하는지는 여전히 열려 있으나, 논문은 이 함의가 스토쿠아스틱 및 일부 실수 경우에 성립함을 보였다.