[논문 리뷰] Hardness of approximation for strip packing

Anna Adamaszek, Tomasz Kociumaka외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 25.

Optimization and Packing Problems참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 입력 크기가 다항식적으로 유 bounds된 경우에도 스트립 패킹 문제가 12/11보다 나은 요소로 근사 가능한 것으로 입증된다. 저자들은 이 결과를 3-Partition 문제로의 환원을 통해 증명하며, 스트립 패킹에 대해 quasi-polynomial time approximation scheme (QPTAS)가 존재하지 않음을 보이고, 이는 NP ⊆ DTIME(2^{polylog(n)})가 아니라는 표준 복잡도 가정 하에 매우 불가능하다는 것을 의미한다. 이는 다항식 유 bounds된 설정에서의 근사 가능성에 관한 핵심 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Strip packing is a classical packing problem, where the goal is to pack a set of rectangular objects into a strip of a given width, while minimizing the total height of the packing. The problem has multiple applications, e.g. in scheduling and stock-cutting, and has been studied extensively. When the dimensions of objects are allowed to be exponential in the total input size, it is known that the problem cannot be approximated within a factor better than $3/2$, unless $\mathrm{P}=\mathrm{NP}$. However, there was no corresponding lower bound for polynomially bounded input data. In fact, Nadiradze and Wiese [SODA 2016] have recently proposed a $(1.4 + ε)$ approximation algorithm for this variant, thus showing that strip packing with polynomially bounded data can be approximated better than when exponentially large values in the input data are allowed. Their result has subsequently been improved to a $(4/3 + ε)$ approximation by two independent research groups [FSTTCS 2016, arXiv:1610.04430]. This raises a question whether strip packing with polynomially bounded input data admits a quasi-polynomial time approximation scheme, as is the case for related two-dimensional packing problems like maximum independent set of rectangles or two-dimensional knapsack. In this paper we answer this question in negative by proving that it is NP-hard to approximate strip packing within a factor better than $12/11$, even when admitting only polynomially bounded input data. In particular, this shows that the strip packing problem admits no quasi-polynomial time approximation scheme, unless $\mathrm{NP} \subseteq \mathrm{DTIME}(2^{\mathrm{polylog}(n)})$.

연구 동기 및 목표

• 다항식적으로 유 bounds된 입력 데이터를 가진 스트립 패킹이 quasi-polynomial time approximation scheme (QPTAS)를 갖는지 여부를 밝히는 것. 이는 최대 직사각형 집합의 독립 집합과 같은 관련 문제들에서 관찰된 바와 같다.
• 지수적으로 큰 입력에 대한 알려진 3/2 근사 불가능성 결과와 다항식적으로 유 bounds된 입력에 대한 향상된 (4/3+ε) 근사 알고리즘 사이의 격차를 메우는 것.
• 다항식적으로 유 bounds된 입력 크기 하에서 스트립 패킹의 강력한 근사 불가능성 결과를 확립하여, 일부 관련 기하 패킹 문제들보다 본질적으로 더 어렵다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 강력한 NP-난이도를 지닌 3-Partition 문제에서 출발하여, 특정 직사각형 치수와 제약 조건을 가진 스트립 패킹 인스턴스를 구성하기 위한 환원.
• 너비 a, b, a+b인 측면 직사각형과 너비 b/3 + s_i인 중앙 직사각형을 설계하며, 여기서 s_i는 작은 편향 값으로 3-Partition 인스턴스를 인코딩한다.
• 기하 제약 조건의 사용: 일반적인 위치에 있는 수직선은 정확히 두 개의 측면 직사각형과 한 개의 중앙 직사각형을 가로질러야 하며, 이는 유효한 패킹에서의 구조적 일致성을 강제한다.
• 모든 유효한 패킹이 중앙 직사각형을 총 너비가 정확히 b가 되는 연속적인 삼중조로 그룹화해야 한다는 증명으로, 이는 유효한 3-Partition 해에 해당한다.
• 계수 a와 b의 수론적 성질을 활용: gcd(a,b)=1 이며 b>3a 이며, 직사각형 경계의 x좌표가 선형 조합 an_a + bn_b 형태이며, n_b - n_a ∈ {0,1} 임을 보장한다.
• 중앙 직사각형의 유일한 타당한 구성은 총 너비가 b인 삼중조로 분할하는 것으로, 이는 원래의 3-Partition 인스턴스에 대한 해를 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식적으로 유 bounds된 입력 데이터를 가진 스트립 패킹은 12/11보다 나은 요소로 근사 가능한가?
• RQ2 다항식적으로 유 bounds된 입력에 대해 (4/3+ε)-근사 알고리즘이 존재한다는 것은 quasi-polynomial time approximation scheme (QPTAS)의 존재를 의미하는가?
• RQ3 다항식적으로 유 bounds된 입력 크기 하에서 스트립 패킹은 최대 직사각형 집합의 독립 집합이나 두 차원 쓰레기통 문제와 유사하게 APX-난이도를 지니는가?
• RQ4 유효한 패킹의 구조를 제약하여 중앙 직사각형이 총 너비 b인 삼중조로 형성되어야 한다는 것을 보장할 수 있는가? 이는 3-Partition 해를 인코딩한다.
• RQ5 스트립 패킹의 근사 불가능성 결과는 최대 직사각형 집합의 독립 집합이나 두 차원 쓰레기통 문제와 같은 관련 문제들과 본질적으로 다를까?

주요 결과

• 모든 입력 값이 아이템 수에 대해 다항식적으로 유 bounds된 경우에도 스트립 패킹 문제는 12/11보다 나은 요소로 근사 가능한 것으로 입증된다.
• 이는 스트립 패킹에 대해 quasi-polynomial time approximation scheme (QPTAS)가 존재하지 않음을 의미하며, 이는 NP ⊆ DTIME(2^{polylog(n)})가 아니라는 가정 하에 매우 불가능하다는 것을 의미한다.
• 근사 불가능성 결과는 강력한 NP-난이도를 지닌 3-Partition 문제로부터의 환원을 통해 확립되며, 이는 P=NP가 아니면 pseudo-polynomial time 알고리즘이 존재하지 않음을 의미한다.
• 구성된 인스턴스의 모든 유효한 패킹은 중앙 직사각형을 총 너비가 정확히 b가 되는 연속적인 삼중조로 분할해야 하며, 이는 정확히 3-Partition 인스턴스의 해에 해당한다.
• 기하 제약 조건과 직사각형 치수의 수론적 성질은 유일하게 유효한 3-Partition에 해당하는 구성만이 유효한 패킹을 가능하게 함을 보장한다.
• 결과적으로 스트립 패킹은 최대 직사각형 집합의 독립 집합이나 두 차원 쓰레기통 문제와 같이 QPTAS를 갖는 관련 문제들과는 달리, 다항식적으로 유 bounds된 입력 하에서 더 엄격하게 근사가 어려운 것으로 나타났다.