[논문 리뷰] Approximation Schemes for Maximum Weight Independent Set of Rectangles

Anna Adamaszek, Andreas Wiese|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 06.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 4인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 최대 무게를 가진 직사각형의 독립 집합(MWISR) 문제에 대해 처음으로 비다항식 시간 $(1+\varepsilon)$-근사 스킴을 제시한다. 이는 평면을 유한한 복잡도를 가진 다각형으로 재귀적으로 분할하는 새로운 기하학적 동적 프로그래밍 기법을 사용한다. 주요 기여는 시간 $2^{\mathrm{poly}(\log n / \varepsilon)}$ 내에서 $(1+\varepsilon)$-근사해를 얻는 것으로, 직사각형에 대해 오랫동안 열려있던 문제를 해결하며, MWISR가 NP ⊆ DTIME($2^{\mathrm{polylog}\,n}$)가 아니면 APX-난이도가 아니라는 결과를 유도한다.

ABSTRACT

In the Maximum Weight Independent Set of Rectangles (MWISR) problem we are given a set of n axis-parallel rectangles in the 2D-plane, and the goal is to select a maximum weight subset of pairwise non-overlapping rectangles. Due to many applications, e.g. in data mining, map labeling and admission control, the problem has received a lot of attention by various research communities. We present the first (1+epsilon)-approximation algorithm for the MWISR problem with quasi-polynomial running time 2^{poly(log n/epsilon)}. In contrast, the best known polynomial time approximation algorithms for the problem achieve superconstant approximation ratios of O(log log n) (unweighted case) and O(log n / log log n) (weighted case). Key to our results is a new geometric dynamic program which recursively subdivides the plane into polygons of bounded complexity. We provide the technical tools that are needed to analyze its performance. In particular, we present a method of partitioning the plane into small and simple areas such that the rectangles of an optimal solution are intersected in a very controlled manner. Together with a novel application of the weighted planar graph separator theorem due to Arora et al. this allows us to upper bound our approximation ratio by (1+epsilon). Our dynamic program is very general and we believe that it will be useful for other settings. In particular, we show that, when parametrized properly, it provides a polynomial time (1+epsilon)-approximation for the special case of the MWISR problem when each rectangle is relatively large in at least one dimension. Key to this analysis is a method to tile the plane in order to approximately describe the topology of these rectangles in an optimal solution. This technique might be a useful insight to design better polynomial time approximation algorithms or even a PTAS for the MWISR problem.

연구 동기 및 목표

• MWISR에 대해 다항식 시간 내에 $(1+\varepsilon)$-근사해를 얻는 데 성공하는 장기적인 열린 문제를 해결한다.
• 가중 직사각형에 대해 기존의 $O(\log n / \log\log n)$-근사 알고리즘의 한계를 극복한다.
• 유한한 복잡도를 가진 기하학적 독립 집합 문제에 적용 가능한 일반적인 기하학적 동적 프로그래밍 프레임워크를 개발한다.
• 표준 복잡도 가정 하에 MWISR가 NP ⊆ DTIME($2^{\mathrm{polylog}\,n}$)가 아니면 APX-난이도가 아니라는 것을 입증한다.

제안 방법

• 최적 해에서 유도된 선 집합을 사용해 평면을 유한한 복잡도를 가진 다각형으로 재귀적으로 분할하는 기하학적 동적 프로그래밍(GEO-DP)을 제안한다.
• 최적 해에 속한 직사각형이 제한된, 저무게 영역에서만 교차하도록 보장하는 새로운 분할 기법을 사용한다.
• 가중 평면 그래프 분리 정리를 적용해 재귀 하위 문제의 수를 제한하고 근사 손실을 통제한다.
• $\delta$-큰 직사각형(최소 한 변이 $K$에서 $(1/\delta)K$ 사이인 경우)에 대한 타일링 기법을 도입해 이 특수 케이스에 대해 다항식 시간 $(1+\varepsilon)$-근사해를 얻을 수 있도록 한다.
• 랜덤 격자 오프셋을 활용해 격자선에 의해 교차하는 직사각형의 무게를 확률적으로 최소화함으로써 근사 손실을 최소화한다.
• 재귀 깊이와 근사 품질의 균형을 맞추기 위해 GEO-DP의 파라미터를 $k = (1/\varepsilon)(1/\delta)^{O(1)}$로 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상수 요인의 다항식 시간 알고리즘이 존재하지 않는다는 점을 감안할 때, MWISR에 대해 비다항식 시간 내에 $(1+\varepsilon)$-근사 스킴을 설계할 수 있는가?
• RQ2 어떤 기하학적 기법과 동적 프로그래밍 기법을 사용하면 최적 해가 $\varepsilon$-분수 손실 이내로 유지되는 방식으로 평면을 분할할 수 있는가?
• RQ3 $\delta$-큰 직사각형의 구조를 어떻게 활용해 다항식 시간 $(1+\varepsilon)$-근사해를 얻을 수 있는가?
• RQ4 자연스러운 선형계획형식의 정수화 갭과 MWISR의 복잡도 간의 관계는 무엇이며, 이를 기하학적 기법으로 유 bounds로 제한할 수 있는가?
• RQ5 MWISR는 APX-난이도인가, 아니면 타당한 복잡도 가정 하에 PTAS를 갖는가?

주요 결과

• 논문은 MWISR에 대해 비다항식 실행 시간 $2^{\mathrm{poly}(\log n / \varepsilon)}$ 내에서 처음으로 $(1+\varepsilon)$-근사 알고리즘을 제시한다.
• 분할선에 의해 교차하는 직사각형의 총 무게가 $\varepsilon \cdot w(\mathcal{R})$ 이하임을 보장함으로써 근사 비율 $1+O(\varepsilon)$를 달성한다.
• $\delta$-큰 직사각형(즉, $\max\{g_i, h_i\} \in [K, (1/\delta)K]$)의 특수 케이스에 대해 알고리즘은 다항식 시간 $(1+\varepsilon)$-근사해를 제공한다.
• 이 방법은 표준 복잡도 가정 하에 MWISR가 NP ⊆ DTIME($2^{\mathrm{polylog}\,n}$)가 아니면 APX-난이도가 아니라는 결과를 유도한다.
• 기하학적 동적 프로그래밍 프레임워크는 일반적이며 다른 기하학적 독립 집합 문제에 적용 가능할 수 있다.
• 분석은 가중 평면 그래프 분리 정리의 새로운 응용과 근사 손실을 최소화하기 위한 랜덤 격자 오프셋 기법에 의존한다.