[논문 리뷰] Hardness of permutation pattern matching

Vít Jelínek, Jan Kynčl|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 16.

Algorithms and Data Compression인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 패턴 π가 길이 3인 감소하는 부분수열을 피하고 텍스트 τ가 길이 4인 감소하는 부분수열을 피할 때조차도 순열 패턴 매칭(PPM)의 NP-완전성을 입증한다—이는 순열의 진부분 유전적 클래스 내에서 알려진 바 있는 첫 번째 NP-난이도 결과이다. 또한 패턴이 단일 순열 α를 피하는 경우에 국한된 PPM에 대해 완전한 복잡도 이분법을 확립하여, α ∈ {1, 12, 21, 132, 213, 231, 312}일 경우 다항시간 해법이 가능하고, 그 외의 경우 NP-완전성을 입증한다.

ABSTRACT

Permutation Pattern Matching (or PPM) is a decision problem whose input is a pair of permutations π and τ, represented as sequences of integers, and the task is to determine whether τ contains a subsequence order-isomorphic to π. Bose, Buss and Lubiw proved that PPM is NP-complete on general inputs.We show that PPM is NP-complete even when π has no decreasing subsequence of length 3 and τ has no decreasing subsequence of length 4. This provides the first known example of PPM being hard when one or both of π and σ are restricted to a proper hereditary class of permutations.This hardness result is tight in the sense that PPM is known to be polynomial when both π and τ avoid a decreasing subsequence of length 3, as well as when π avoids a decreasing subsequence of length 2. The result is also tight in another sense: we will show that for any hereditary proper subclass C of the class of permutations avoiding a decreasing sequence of length 3, there is a polynomial algorithm solving PPM instances where π is from C and τ is arbitrary.We also obtain analogous hardness and tractability results for the class of so-called skew-merged patterns.From these results, we deduce a complexity dichotomy for the PPM problem restricted to π belonging to Av(α), where Av(α) denotes the class of permutations avoiding a permutation α. Specifically, we show that the problem is polynomial when α is in the set {1, 12, 21, 132, 213, 231, 312}, and it is NP-complete for any other α.

연구 동기 및 목표

• 특정 유전적 클래스의 순열에 제한된 경우 순열 패턴 매칭(PPM)의 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 패턴 π와 텍스트 τ에 대한 구조적 제약 조건 하에서 PPM의 다항시간 해법 가능 사례와 비가능 사례의 정확한 경계를 규명하는 것.
• 패턴 π가 Av(α) 클래스에 속할 경우에 제한된 PPM에 대해 완전한 복잡도 이분법을 수립하는 것.
• π가 Av(α)에 제한될 때 PPM이 다항시간으로 해법 가능해지는 모든 순열 α를 특성화하는 것.
• 모든 Av(321)의 진부분 유전적 하위클래스 C에 대해 π ∈ C 이고 τ가 임의일 때 PPM이 다항시간으로 해결 가능함을 보여, 경계의 날카로움을 입증하는 것.

제안 방법

• 3-Partition 문제에서의 감소를 통해 제약 조건이 있는 패턴과 텍스트 하에서 PPM의 NP-완전성 증명을 구성하는 것.
• 긴 감소 부분수열을 피하는 순열의 구조적 성질, 특히 Av(321) 및 Av(4321) 클래스에 초점을 맞추는 것.
• 비대칭 합쳐진 순열(skew-merged permutations) 개념의 적용을 통해 경계의 난이도 및 해법 가능 성질을 더 넓은 클래스로 확장하는 것.
• π가 Av(321의 진부분 유전적 하위클래스에 속할 경우에 다항시간 알고리즘을 구성하는 데 동적 프로그래밍과 구조적 분해를 활용하는 것.
• 유전적 클래스의 폐쇄 성질 분석 및 PPM의 복잡도에 미치는 영향을 고려하는 것.
• 극값 조합론과 금지된 부분패턴 분석을 사용하여, Av(α)에서 PPM이 다항시간으로 해결 가능한 모든 순열 α의 집합을 공식적으로 특성화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 π와 τ가 모두 길이 3인 감소하는 부분수열을 피할 경우 PPM은 여전히 NP-완전한가, 아니면 이 경우에 다항시간으로 해결 가능한가?
• RQ2 Av(321)에 속하는 π와 Av(4321)에 속하는 τ를 갖는 진부분 유전적 클래스 내에서 PPM의 NP-완전성을 입증할 수 있는가?
• RQ3 π가 Av(α)에 제한될 때 PPM이 다항시간으로 해결 가능한 정확한 순열 α의 집합은 무엇인가?
• RQ4 NP-완전성 결과가, 제약 조건을 더 완화하면 다항시간 해법 가능으로 이어지는 의미에서 날카로운 경계를 이루는가?
• RQ5 π가 Av(321의 진부분 유전적 하위클래스에 속할 경우, τ가 어떤지에 관계없이 PPM에 대해 다항시간 알고리즘을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• π가 길이 3인 감소하는 부분수열을 피하고 τ가 길이 4인 감소하는 부분수열을 피할 때조차도 PPM이 NP-완전함을 입증하여, 진부분 유전적 순열 클래스 내에서 처음으로 NP-난이도 결과를 확립한다.
• 이 결과는 날카로운 경계를 이룬다: π와 τ가 모두 길이 3인 감소하는 부분수열을 피할 경우, 그리고 π가 길이 2인 감소하는 부분수열을 피할 경우, PPM은 다항시간으로 해결 가능하다.
• Av(321의 진부분 유전적 하위클래스 C에 대해, π ∈ C 이고 τ가 임의일 경우 PPM은 다항시간으로 해결 가능함을 보여, 해법 가능성의 날카로운 임계점이 있음을 입증한다.
• Av(α)에 제한된 PPM에 대해 완전한 복잡도 이분법이 확립되었으며, 문제는 α가 {1, 12, 21, 132, 213, 231, 312} 중 하나일 때에만 다항시간으로 해결 가능하다.
• 논문은 Av(α)에서 PPM이 다항시간으로 해결 가능한 모든 순열 α에 대한 완전한 특성화를 제공하여, 이러한 제한된 클래스에서 PPM의 복잡도를 완전히 해결한다.
• 유사한 난이도 및 해법 가능 성질 결과가 비대칭 합쳐진 패턴에 대해서도 확보되어, 이분법이 다른 자연스러운 순열 클래스로 확장된다.