[논문 리뷰] Heat kernel and ergodicity of SDEs with distributional drifts

Xicheng Zhang, Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 11인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 $\ mathbb{R}^d$에서 분포성 드리프트를 갖는 SDE에 대해, 드리프트 $b \in H^{-\alpha,p}$ 및 분산 계수 $\sigma$에 대한 약한 정규성 조건 하에서 열핵의 존재성, 유일성 및 정밀한 이면 경계 추정치를 확립한다. Zvonkin의 변환과 일반화된 Itô의 공식을 사용하여, 소산성 드리프트 조건 하에서 비에르고디시티와 불변 측도의 전역 정규성을 증명하며, 고전 결과를 특이 드리프트로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we consider the following SDE with distributional drift $b$: $$ { m d} X_t=σ(X_t){ m d} B_t+b(X_t){ m d} t,\ X_0=x\in{\mathbb R}^d, $$ where $σ$ is a bounded continuous and uniformly non-degenerate $d imes d$-matrix-valued function, $B$ is a $d$-dimensional standard Brownian motion. Let $α\in(0,\frac{1}{2}]$, $p\in(\frac{d}{1-α},\infty)$ and $β\in[α,1]$, $q\in(\frac{d}β,\infty)$. Assume $\|({\mathbb I}-Δ)^{-α/2}b\|_p+\|(-Δ)^{β/2}σ\|_q

연구 동기 및 목표

• 분산 계수 $\sigma$가 유계, 연속, 그리고 균일하게 비특이일 때, $b \in \mathscr{D}'$인 분포성 드리프트를 갖는 SDE에 대한 마틴갈 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 적절한 적분 조건 하에서 $b \in H^{-\alpha,p}$ 및 $\sigma \in H^{\beta,q}$ 조건 하에서 이러한 SDE와 관련된 열핵에 대한 정밀한 양면 추정치 및 기울기 추정치를 도출하는 것.
• 소산성 드리프트 가정 하에서 불변 측도의 비에르고디시티와 전역 정규성을 조사하여, 고전 결과를 분포성 드리프트의 경우로 확장하는 것.
• 브라운 운동에 의해 구동되는 SDE에 대해 일반화된 Itô의 공식과 Zvonkin 유형의 변환을 개발하여, 전통적인 반마르팅글 이론을 초월한 경로의 정규성 및 불변 측도 분석을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 드리프트 $b$에 대한 적절한 소형 조건 하에서, $\mathscr{L}^a$가 $\sigma$와 관련된 타원형 연산자이고 $\mathscr{L}^a u - \lambda u = -b \cdot \nabla u$의 해인 $\mathbf{u}$를 통한 Zvonkin의 변환을 사용하여 분포성 드리프트를 갖는 SDE를 정규화하는 것.
• 시간 적분의 드리프트 항을 제어하기 위해 $L^p$ 기반 소볼레프 공간에서 Krylov 유형의 사전 추정치를 사용하여, 매끄럽게 다듬은 근사의 u.c.p. 위상에서 수렴을 보장하는 것.
• 디리클레 과정에 대한 일반화된 Itô의 공식을 적용하여 $u(X_t)$의 역학을 도출하고, $X_t$의 법칙에 대한 국소적 Krylov 추정치를 유도하는 것.
• 적절한 소형 조건 하에서 $\Phi = \mathrm{id} + \mathbf{u}$가 유일한 $C^1$- diffeomorphism임을 확립하여 원래 SDE를 표준 확산으로 변환하는 것.
• 변환된 SDE를 사용하여 변환된 과정에 대해 유일한 불변 측도 $\tilde{\mu}$의 존재를 증명하고, 이를 $\Phi$를 통해 다시 원래 과정으로 올려 $\mu = \tilde{\mu} \circ \Phi^{-1}$를 얻는 것.
• Sobolev 임베딩과 $\tilde{\varrho} \in H^{\gamma,r}$에서의 정규성 전이를 사용하여, 불변 밀도 $\varrho$가 $H^{\gamma,r}$에 속함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분포성 드리프트 $b \in H^{-\alpha,p}$ 및 $\sigma \in H^{\beta,q}$에 대해 어떤 조건에서 SDE가 유일한 마틴갈 해를 갖는가?
• RQ2 드리프트가 분포적이며 분산 계수가 비특이일 경우 SDE의 열핵에 대한 정밀한 양면 추정치 및 기울기 추정치는 무엇인가?
• RQ3 관련된 마코프 과정이 불변 측도를 갖는가? 만약 그렇다면, Sobolev 또는 허더 공간에서의 정규성은 어떠한가?
• RQ4 드리프트가 함수가 아니라 분포일 경우에도 소산성 드리프트 조건 하에서 과정의 비에르고디시티를 확립할 수 있는가?
• RQ5 Zvonkin 변환과 일반화된 Itô의 공식은 어떻게 분포성 드리프트를 갖는 SDE에 확장되어 경로의 정규성 및 불변 측도 분석을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 조건 $\|({\mathbb{I}} - \Delta)^{-\alpha/2}b\|_p + \|(-\Delta)^{\beta/2}\sigma\|_q < \infty$ 하에서, $\alpha \in (0, \frac{1}{2}]$, $p \in (\frac{d}{1-\alpha}, \infty)$, $\beta \in [\alpha, 1]$, $q \in (\frac{d}{\beta}, \infty)$일 때 SDE는 유일한 마틴갈 해를 갖는다.
• 열핵 $p_t(x,y)$는 정밀한 이면 추정치 $c_1 t^{-d/2} \exp(-c_2 |x-y|^2/t) \leq p_t(x,y) \leq c_3 t^{-d/2} \exp(-c_4 |x-y|^2/t)$ 및 기울기 추정치 $|\nabla_x p_t(x,y)| \leq C t^{-\frac{d+1}{2}} \exp(-c |x-y|^2/t)$를 만족하며, 일부 상수 $c_i, C > 0$가 존재한다.
• 소산성 드리프트 조건: $\langle b(x) - b(y), x - y \rangle \leq -\vartheta |x-y|^2$ ($\vartheta > 0$) 하에서 과정은 비에르고디시티이며, 불변 측도 $\mu$는 존재하고 유일하다.
• 불변 밀도 $\varrho$는 어떤 $\gamma > 0$ 및 $r \in (1, \frac{d}{d + \gamma - 1})$에 대해 $H^{\gamma,r}$에 속하며, 이는 불변 측도의 전역 정규성을 의미한다.
• Krylov 유형의 추정치 $\mathbf{E}\left[ \sup_{t \in [0,T]} \left| \int_0^t f(X_s) ds \right| \right] \leq C \|f\|_{-\alpha,p}$ 는 $f \in H^{-\alpha,p}$에 대해 성립하며, 매끄럽게 다듬은 드리프트 적분의 수렴을 보장한다.
• 변환된 과정 $Y_t = \Phi(X_t)$는 매끄러운 계수를 갖는 표준 SDE를 만족하며, $Y_t$의 불변 측도 $\tilde{\mu}$는 $H^{\gamma,r}$에 속한다. 이를 통해 $\mu = \tilde{\mu} \circ \Phi$ 및 $\varrho = \tilde{\varrho} \circ \Phi \cdot \det(\nabla \Phi)$가 $H^{\gamma,r}$에 속한다.