[논문 리뷰] Heat kernels and the index theorems on even and odd dimensional manifolds

Weiping Zhang|arXiv (Cornell University)|2003. 04. 18.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 경계가 있는 홀수 차원 다양체 위의 토플리츠 연산자에 대한 인덱스 정리에 대한 열핵 기반 증명을 제시하며, 아티야-파달리-식딩스 인덱스 정리를 홀수 차원으로 확장한다. 스펙트럼 방법과 경계 근처의 열핵 점근 전개를 사용하여, 경계 연산자의 $η$-정량, 유니타리 접속의 차르너 특성, 마스로프 삼중 인덱스를 포함한 기하학적 불변량들로 표현된 인덱스 공식을 수립한다.

ABSTRACT

In this talk, we review the heat kernel approach to the Atiyah-Singer index theorem for Dirac operators on closed manifolds, as well as the Atiyah-Patodi-Singer index theorem for Dirac operators on manifolds with boundary. We also discuss the odd dimensional counterparts of the above results. In particular, we describe a joint result with Xianzhe Dai on an index theorem for Toeplitz operators on odd dimensional manifolds with boundary.

연구 동기 및 목표

• 경계가 있는 홀수 차원 다각체로의 아티야-파달리-식딩스 인덱스 정리의 확장을 위해.
• 이러한 다각체 위의 토플리츠 연산자 인덱스를 계산하기 위한 열핵 방법의 개발을 위해.
• 기하학적 불변량인 $η$-정량과 마스로프 삼중 인덱스를 포함한 국소 인덱스 공식의 수립을 위해.
• 스펙트럼 및 기하 기법을 사용하여 짝수 차원 인덱스 이론의 결과를 홀수 차원의 경우로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 디랙 연산자의 제곱에 대한 열핵의 초트레이스로 표현된 인덱스를 구하기 위해 Mckean-Singer 공식을 활용한다.
• 경계 근처의 열핵 점근 전개를 적용하여 국소 불변량을 추출하며, 특히 짧은 시간 전개에서 계수 $a_0$의 초트레이스를 포함한다.
• 프로젝션 $P_{\partial M,\geq 0}$ 과 $gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1}$ 로 정의된 혼합 경계 조건을 가진 경계 타원 문제를 도입한다.
• 스펙트럼 제타 정규화를 사용하여 경계 연산자 $D_{P_{\partial M,\geq 0},gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1}}$ 의 축약된 $η$-정량을 계산한다.
• 칼데론 프로젝션과 마스로프 삼중 인덱스를 사용하여 경계 자료에서 발생하는 위상학적 장애를 보정한다.
• 비가환 기하학(Connes-Moscovici)의 결과와 $η$-정량 분할 기법을 적용하여 비자명한 경계 기여를 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 방법을 사용하여 경계가 있는 홀수 차원 다각체 위의 토플리츠 연산자 인덱스는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 홀수 차원 다각체의 경계가 있는 경우 인덱스 공식에서 $η$-정량의 역할은 무엇인가?
• RQ3 유니타리 접속의 차르너 특성과 마스로프 삼중 인덱스는 홀수 차원의 경우 인덱스에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 열핵 방법은 짝수 차원에서 홀수 차원 다각체로 확장되어 국소 인덱스 정리를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 토플리츠 연산자 $T_g$ 의 인덱스는 $-\int_M \widehat{A}(R^{TM}/2\pi)\,{\rm ch}(g,d) + \overline{\eta}(D_{P_{\partial M,\geq 0},gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1}}) - \tau_\mu(P_{\partial M,\geq 0},gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1},{\cal P}_M)$ 로 주어진다.
• 축약된 $η$-정량 $\overline{\eta}(D_{P_{\partial M,\geq 0},gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1}})$ 는 $s=0$ 에서 잘 정의되고 해석적임을 보여, 인덱스 공식이 유한하고 기하학적임을 보장한다.
• Corollary 5.3 에서 보여지듯이, $\int_M \widehat{A}(R^{TM}/2\pi)\,{\rm ch}(g,d) - \overline{\eta}(D_{P_{\partial M,\geq 0},gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1}})$ 는 정수이다.
• 마스로프 삼중 인덱스 $\tau_\mu$ 는 칼데론 프로젝션과 스펙트럼 프로젝션 $P_{\partial M,\geq 0}$ 사이의 불일치를 보정하며, 위상학적 보정 항을 제공한다.
• 열핵 방법은 스펙트럼 프로젝션과 정규화를 사용하여 경계를 효과적으로 다루며, 비자명한 경계 기하학으로 인한 어려움을 극복한다.
• 결과는 Douglas-Wojciechowski 정리를 홀수 차원으로 일반화하며, 기하학적 및 위상학적 불변량을 포함한 국소 인덱스 공식을 제공한다.