[논문 리뷰] Heegner divisors, $L$-functions and harmonic weak Maass forms

Jan Hendrik Bruinier, Ken Ono|ArXiv.org|2007. 10. 01.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 23인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 1/2 스피너 무게를 가진 조화 약한 마스 형식이 2 스피너 무게의 모듈라 L함수의 제곱형 변형의 중심값과 중심 도함수를 생성함수으로서 사용함을 규명한다. 보르처스 이전을 조화 약한 마스 형식으로 일반화함으로써, 저자들은 왜곡된 히그너 분해를 가진 제3종 미분형식을 구성하며, 주기와 모듈라 곡선의 아벨 다양체 위의 점들을 통해 푸리에 계수와 L값 및 도함수를 연결한다.

ABSTRACT

Recent works, mostly related to Ramanujan's mock theta functions, make use of the fact that harmonic weak Maass forms can be combinatorial generating functions. Generalizing works of Waldspurger, Kohnen and Zagier, we prove that such forms also serve as "generating functions" for central values and derivatives of quadratic twists of weight 2 modular $L$-functions. To obtain these results, we construct differentials of the third kind with twisted Heegner divisor by suitably generalizing the Borcherds lift to harmonic weak Maass forms. The connection with periods, Fourier coefficients, derivatives of $L$-functions, and points in the Jacobian of modular curves is obtained by analyzing the properties of these differentials using works of Scholl, Waldschmidt, and Gross and Zagier.

연구 동기 및 목표

• 반정수 스피너 형식에 대한 고전적 발드스부르거, 코헨, 자이거 결과를 조화 약한 마스 형식으로 확장하기 위해.
• 조화 약한 마스 형식의 푸리에 계수와 제곱형 변형된 L함수의 중심값/도함수 사이의 생성함수 관계를 확립하기 위해.
• 보르처스 이전 구성법을 조화 약한 마스 형식으로 일반화하여, 고의적 왜곡된 히그너 분해를 가진 제3종 미분형식을 생성하기 위해.
• 이러한 형식의 푸리에 계수를 주기, L값, 모듈라 곡선의 아벨 다양체 위의 점과 같은 산술 불변량과 연결하기 위해.
• 비약한 해석적 조화 약한 마스 형식이 푸리에 계수를 통해 L값과 그 도함수를 동시에 코딩할 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 보르처스 이전을 조화 약한 마스 형식으로 일반화하여, 왜곡된 히그너 분해를 가진 유리형 제3종 미분형식을 구성하기 위해.
• 조화 약한 마스 형식과 스피너 무게 3/2의 모듈라 형식, 특히 기본 테타 급수와 수직인 촉각형식 간의 관계를 설정하기 위해 미분형식 $\xi_{1/2}$ 를 사용하기 위해.
• 시무라 대응과 발드스부르거 유형의 공식을 적용하여 마스 형식의 푸리에 계수를 제곱형 변형의 중심 L값 및 도함수와 연결하기 위해.
• 스콜, 발트슈마이트, 그로스–자이저의 주기 및 L함수에 관한 결과를 이용하여 이러한 미분형식의 성질을 분석하기 위해.
• 특히 37 레벨의 모듈라 형식에 대해, 테타 이전과 수치 계산을 사용하여 명시적 예를 구성하고 이론적 예측을 검증하기 위해.
• 벡터값형 조화 약한 마스 형식과 그 푸리에 전개를 사용하여 L값과 도함수의 생성 행동을 모델링하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무게 1/2의 조화 약한 마스 형식은 2 스피너 무게의 L함수의 제곱형 변형의 중심값과 중심 도함수를 모두 생성할 수 있는가?
• RQ2 보르처스 이전 구성법은 어떻게 조화 약한 마스 형식으로 일반화되어, 왜곡된 히그너 분해를 가진 미분형식을 생성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 형식의 푸리에 계수와 모듈라 L함수의 중심 L값 또는 도함수 사이의 정확한 산술적 관계는 무엇인가?
• RQ4 비약한 해석적 조화 약한 마스 형식의 계수는 L도함수의 영 또는 계수의 유리성과 같은 산술 정보를 어느 정도까지 코딩하는가?
• RQ5 모듈라 곡선의 아벨 다양체 위의 점들은 일반화된 보르처스 이전을 통해 조화 약한 마스 형식의 푸리에 계수와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 일반화된 보르처스 이전을 통해, 조화 약한 마스 형식의 푸리에 계수는 제곱형 변형된 2 스피너 무게 L함수의 중심값과 중심 도함수를 모두 생성함을 보여주었다.
• 레벨 37의 모듈라 형식 $G_1$ 에서 중심 도함수 $L'(G_1, \chi_{-139}, 1) = 0$ 은 $f_1$ 의 해석적 부분에서 계수 $c^+(-139)$ 의 영과 대응하며, $c^+(-823) = -1$ 은 아벨 다양체에서 $Z_{-823,19}$ 의 영과 대응한다.
• 형식 $f_{12}$ 의 계수 $c^+(-824)$ 는 약 $-322.9986$ 이며, 이에 대응하는 $L'(G_1, \chi_{-824}, 1) \approx 17.5029$ 는 정리 7.8와 일치한다.
• 수치 계산 결과 $3f_1 - f_{12}$ 는 정수 푸리에 계수를 가지며, 이는 $g_0$ 의 테타 이전과 관련된 유리 구조를 시사한다.
• 해석적 부분이 $e(-12/(4\cdot37)\tau)\mathfrak{e}_{30} - e(-12/(4\cdot37)\tau)\mathfrak{e}_{-30}$ 인 형식 $f_{12}$ 는 비영인 계수를 가지며, 이는 $\chi_{\Delta}$ 에 대한 예측된 $L'$-값과 일치한다.
• $f_1$ 에서 $c^+(-139)$ 와 $c^+(-823)$ 의 유리성은 $X_0(37)$ 의 아벨 다양체에서 히그너 분해의 영과 직접적으로 연결되어 있으며, 이는 산술적 의미를 확인한다.