[논문 리뷰] Height Estimates for Equidimensional Dominant Rational Maps

Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|2009. 08. 26.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $\overline{\mathbb{Q}}$ 위의 준사영적 다양체 사이의 등차원 지배적인 유리사상에 대해 높이의 하한을 확립하며, 이러한 사상에 의해 이미지의 높이가 전이상의 높이에 대해 최소한 선형적으로 증가함을 증명한다. 주요 기여는 $\mathbb{P}^n$의 지배적인 자기사상에 대해 높이 확장 계수 $\mu(\varphi)$에 대한 균일한 하한을 제공하는 것으로, 이는 $n$과 차수 $d$에만 의존하며, 반타당한 응용을 통해 반타당한 아벨 다양체의 특수화 정리에 기여한다.

ABSTRACT

Let F : W --> V be a dominant rational map between quasi-projective varieties of the same dimension. We give two proofs that h_V(F(P)) >> h_W(P) for all points P in a nonempty Zariski open subset of W. For dominant rational maps F : P^n --> P^n, we give a uniform estimate in which the implied constant depends only on n and the degree of F. As an application, we prove a specialization theorem for equidimensional dominant rational maps to semiabelian varieties, providing a complement to Habegger's recent theorem on unlikely intersections.

연구 동기 및 목표

• 같은 차원의 다양체 사이의 등차원 지배적인 유리사상에 의한 이미지의 높이에 하한을 설정하는 것.
• 이러한 사상에 대해 높이 확장 계수 $\mu(\varphi)$가 양수임을 증명하여, 전이상의 높이에 비해 이미지의 높이가 비어 있지 않은 열린 부분집합에서 증가함을 보장하는 것.
• 고정된 차수 $d$를 가진 $\mathbb{P}^n$의 모든 지배적인 유리자기사상에 대해 $\mu(\varphi)$에 대한 균일한 하한을 제공하는 것. 이 하한은 $n$과 $d$에만 의존하며, 특정 사상에 따라 달라지지 않는다.
• 높이 추정을 응용하여 특수화 정리를 증명하는 것: 반타당한 아벨 다양체 안의 토크션 점으로 사상되는 점들의 집합은 높이가 유계임을 보이는 것.

제안 방법

• Siu의 정리에 기반한 편의적이고 큰 선다발을 포함하는 수치 기준을 사용하여, 대수기하학적 추론을 통해 첫 번째 결과를 증명한다.
• 높이 함수의 기본 성질과 삼각 부등식만을 사용하는 더 간단한 증명을 제시한다.
• 유리사상 $\varphi: \mathbb{P}^n \dashrightarrow \mathbb{P}^n$에 대해 높이 함수 $h(\varphi)$를 도입하여, 이 하한이 사상의 차수와 차원에 따라 어떻게 달라지는지를 정량화한다.
• K3 표면 위의 동역학계에 높이 추정을 적용하여 $\mu(\varphi)$를 계산하거나 추정한다. 이 경우 Néron–Tate 높이 분해를 사용한다.
• Néron–Tate 높이 분해 $h_D = a\hat{h}^+ + b\hat{h}^-$를 사용하여 $h_D(\varphi^n(P))$의 渐近 행동을 분석하고 $\mu(\varphi^n)$에 대한 하한을 유도한다.
• 주요 결과를 응용하여, 반타당한 아벨 다양체 $G$ 안의 토크션 점으로 사상되는 $W$의 점들의 집합이 높이가 유계임을 증명한다. 이는 토크션 점들이 $G$에서 높이가 유계이므로 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지배적인 유리사상 $\varphi: W \dashrightarrow V$에 대해 $\dim W = \dim V$일 때, $h_W(P)$에 대한 $\varphi(P)$의 높이에 하한을 설정할 수 있는가?
• RQ2 지배적인 유리자기사상 $\varphi: \mathbb{P}^n \dashrightarrow \mathbb{P}^n$의 차수가 $d$일 때, $\mu(\varphi)$의 하한이 $n$과 $d$에만 의존하는 양수인가?
• RQ3 높이 추정을 사용하여 반타당한 아벨 다양체로의 유리사상에 대해 특수화 정리를 증명할 수 있는가? 특히 토크션 점에 관해.
• RQ4 $\overline{\mu}_d(\mathbb{P}^n)$, 즉 모든 $\mathbb{P}^n$의 지배적인 차수-$d$ 자기사상에 대해 $\mu(\varphi)$의 하한을 취한 값의 정확한 값 또는 날카운 추정치는 무엇인가?
• RQ5 반복에 따른 높이 확장 계수는 어떻게 행동하는가? 특히 고차원 다양체의 자기사상에서 지수적으로 감소할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $\overline{\mathbb{Q}}$ 위의 등차원 지배적인 유리사상 $\varphi: W \dashrightarrow V$에 대해, $\dim W = \dim V$이면, $h_V(\varphi(P)) \geq C_1 h_W(P) - C_2$ 를 만족하는 비어 있지 않은 조르지 열린 부분집합 $U \subset W$ 가 존재한다. 이때 $P \in U(\overline{\mathbb{Q}})$ 이고 $C_1 > 0$ 이다.
• 차수 $d$인 $\mathbb{P}^n$의 지배적인 유리자기사상 $\varphi: \mathbb{P}^n \dashrightarrow \mathbb{P}^n$에 대해, 높이 확장 계수 $\mu(\varphi) \geq C_1 > 0$ 이며, 이 $C_1$ 은 $n$과 $d$에만 의존하고, 모든 이러한 사상에 대해 균일하다.
• $\mathbb{P}^n$의 모든 지배적인 차수-$d$ 자기사상에 대해 $\mu(\varphi)$의 하한 $\overline{\mu}_d(\mathbb{P}^n)$ 은 $n \geq 2$ 및 $d \geq 2$ 에 대해 $\overline{\mu}_d(\mathbb{P}^n) \leq d^{-(n-1)}$ 를 만족한다. 이는 $d$ 가 증가함에 따라 계수가 임의로 작아질 수 있음을 보여준다.
• 일부 K3 표면의 자기사상에 대해 $\mu(\varphi^n) \leq (2 + \sqrt{3})^{-n}$ 이다. 이는 자명한 자기사상에서도 높이 확장 계수가 지수적으로 감소할 수 있음을 보여준다.
• 반타당한 아벨 다양체 $G$ 안의 토크션 점으로 사상되는 점들 $P \in W(\overline{\mathbb{Q}})$ 의 집합은 높이가 유계이다. 이는 높이 하한과 토크션 점들의 높이가 유계이므로 성립한다.