[논문 리뷰] Heights, ranks and regulators of abelian varieties

Fabien Pazuki|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 팔팅스 높이를 악성 감소 소수와 단사성 직경과 연결시켜 수체 위의 아벨 다양체의 모델-베일 랭크에 대해 조건 없는 명시적 상계를 확립한다. 랑-실버만 높이 추측 하에, 밀도 있는 유리점이 있는 편재된 아벨 다양체 위에서의 조정자에 대한 노스코트 성질을 증명하며, 주로 편재된 경우의 단순성 조건을 제거하기 위해 개선된 추측을 제시한다.

ABSTRACT

We lower bound the Faltings height of an abelian variety over a number field by the sum of its injectivity diameter and the norm of its bad reduction primes. It leads to an unconditional bound on the rank of Mordell-Weil groups. Assuming the height conjecture of Lang and Silverman, we then obtain a Northcott property for the regulator on the set of simple abelian varieties defined over a fixed number field, of fixed dimension $g$, bounded rank and with dense rational points over a number field. We remove the simplicity assumption in the principally polarized case by giving a refined version of the Lang-Silverman conjecture.

연구 동기 및 목표

• 수체 위의 아벨 다양체의 모델-베일 랭크에 대해 조건 없는 명시적 상계를 확립하는 것.
• 랭-실버만 높이 추측 하에, 밀도 있는 유리점이 있는 편재된 아벨 다양체 위에서의 조정자에 대한 노스코트 성질을 증명하는 것.
• 주로 편재된 경우의 조정자 노스코트 성질에서 단순성 조건을 제거하는 것.
• 주로 편재된 설정에서 비단순 아벨 다양체에 적용 가능한 랑-실버만 추측의 개선된 형태를 제안하는 것.
• 조정자, 높이, 토크션 구조를 연결함으로써 수체와 아벨 다양체 간의 유사성을 확장하는 것.

제안 방법

• 악성 감소 소수의 노름과 복소 균형화의 단사성 직경을 바탕으로 아벨 다양체의 팔팅스 높이에 대한 하한을 유도한다.
• 매트릭스 보조정리를 적용하여 조정자를 연속 최소값의 곱과 아벨 다양체의 높이와 연결한다.
• 베르티니 유형 정리의 명시적 경계와 몫을 통한 높이 감소를 이용하여 높이 부등식의 상수를 제어한다.
• 부분다양체에 대한 귀납법을 적용하여, 종말적 작용이 조밀하지 않은 경우 점의 캐논리컬 높이를 유계화한다.
• 주로 편재된 경우에 맞게 조정된 랑-실버만 추측의 개선된 버전을 도입하여 단순성 조건의 제거를 가능하게 한다.
• 모든 모델-베일 격자에 대해 민코프스키의 연속 최소값 부등식을 적용하여 조정자와 캐논리컬 높이, 팔팅스 높이를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 높이와 악성 감소 자료로부터 조건 없는 명시적 상계를 랭크에 도출할 수 있는가?
• RQ2 랭-실버만 높이 추측이 밀도 있는 유리점이 있는 편재된 아벨 다양체 위에서의 조정자에 대한 노스코트 성질을 유도하는가?
• RQ3 주로 편재된 경우의 노스코트 성질에서 단순성 조건을 제거할 수 있는가?
• RQ4 어떤 개선된 형태의 랑-실버만 추측이 이러한 단순성 조건의 제거를 가능하게 하는가?
• RQ5 수체와 아벨 다양체 간의 유사성(예: 조정자, 클래스 수, 토크션)이 조정자와 높이로 어떻게 확장되는가?

주요 결과

• 팔팅스 높이에 대한 조건 없는 하한이 확립되었다: $\mathop{h_{\mathrm{F}}^{+}}(A/K) \geq c \frac{1}{d}\log N^{0}_{A/K} + c_0$, 명시적 상수 $c = (12g)^{-12g^{12g^{4g}}}$ 및 $c_0 = -1/c$를 포함한다.
• 편재된 아벨 다양체의 경우, 단사성 직경을 포함한 경계가 강화되었다: $\mathop{h_{\mathrm{F}}^{+}}(A/K) \geq c_1 \frac{1}{d}\log N^{0}_{A/K} + c_2 \frac{1}{d}\sum_{v\in M_K^\infty} d_v \rho(A_v, L_v)^{-2} + c_3$, 여기서 $c_1 = (12g)^{-12g^{12g^{4g}}}/17$, $c_2 = 1/17$, $c_3 = -1/c_1$이다.
• 랭-실버만 추측 하에, 조정자는 높이의 거듭제곱으로부터 아래로 유계지며, 차원, 랭크, 조르키-밀도 있는 유리점이 있는 편재된 아벨 다양체의 집합에서 조정자에 대한 노스코트 성질이 유도된다.
• 단순성 조건을 제거하기 위해 주로 편재된 경우에 맞게 개선된 랑-실버만 추측을 도입하여, 이는 높이를 조정자와 점의 캐논리컬 높이로 제어한다.
• 조정자가 $c_{36}^{m - m_0} \max\{\mathop{h_{\mathrm{F}}^{+}}(A/K), 1\}^{m - m_0}$로 아래로 유계지며, 여기서 $m$은 모델-베일 랭크이고 $m_0$는 아벨 부분다양체의 최대 랭크이다.
• 논문은 수체와 아벨 다양체 간의 완전한 사전을 확립하여 조정자, 높이, 클래스 수, 토크션, 단위 랭크를 연결한다.