[논문 리뷰] Hermite-Hadamard type inequalities for s-convex and s-concave functions via fractional integrals

M. Emіn Özdemіr, Merve Avcı외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 02.

Mathematical Inequalities and Applications인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 리만-리오비ล레 분수적 적분을 사용하여 s-볼록 및 s-오목 함수에 대한 새로운 헤르미트-아仔다르드 유형 부등식을 수립한다. 새로운 분수적 적분 항등식을 유도하고 헬더 부등식 및 멱근미분 부등식을 적용하여 감마 및 베타 함수를 포함하는 날카운 경계를 도출함으로써, 기존의 s-볼록 함수에 대한 고전적 및 분수적 적분 부등식 결과를 확장한다.

ABSTRACT

New identity for fractional integrals have been defined. By using of this identity, some new Hermite-Hadamard type inequalities for Riemann-Liouville fractional integral have been developed. Our results have some relationships with the result of Avci et al., proved in AKO.

연구 동기 및 목표

• 분수적 미적분학을 활용하여 고전적 헤르미트-아仔다르드 부등식을 s-볼록 및 s-오목 함수의 맥락으로 확장하는 것.
• 미분 가능 함수의 도함수가 s-볼록 또는 s-오목일 경우를 일반화하는 새로운 분수적 적분 항등식을 개발하는 것.
• 헬더 및 멱근미분 부등식을 적용하여 분수적 적분의 편차에 대한 날카운 경계를 도출하는 것.
• 아비치 등과 카브르마치 등의 이전 결과를 s-볼록성 및 분수적 적분의 맥락에서 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 순서 α > 0인 리만-리오비레 분수적 적분을 포함하는 새로운 분수적 적분 항등식을 유도하여, 함수의 평균과 그 도함수 간의 가중치 적분을 연결한다.
• 공액 지수 p와 q(1/p + 1/q = 1)를 사용한 헬더 부등식을 적용하여 도함수 항의 L1-노름을 경계한다.
• |f′|q의 s-볼록성 및 s-오목성을 활용하여 t^s 및 (1−t)^s 가중치를 포함하는 [0,1]에서의 적분을 상한으로 제시한다.
• 특히 ∫₀¹ (1−t^α)^p dt 및 ∫₀¹ (1−t^α) t^s dt와 같은 핵심 적분을 베타 및 감마 함수를 사용하여 평가한다.
• 멱근미분 부등식을 적용하여 볼록 조합을 따라 도함수의 Lq-노름을 제어한다.
• |f′(x)|, |f′(a)|, |f′(b)| 및 매개변수 α, s, p, q에 따라 경계를 설정하며, Γ 함수를 포함하는 명시적 상수를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만-리오비레 분수적 적분을 사용하여 헤르미트-아仔다르드 유형 부등식을 s-볼록 및 s-오목 함수로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 분수적 적분이 함수 평균에서 벗어남에 대한 상한의 상수는 얼마나 날카로운가?
• RQ3 |f′|q가 s-오목일 경우 s-볼록일 경우와 비교해 경계는 어떻게 변화하며, 매개변수 s는 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 α→1의 극한에서 아비치 등과 카브르마치 등의 결과가 회복되거나 확장되는가?
• RQ5 s∈(0,1] 및 q>1일 때 분수적 적분 부등식의 최적 상수는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 기존의 Kavurmaci 등이 α=1 및 x∈[a,b]일 때 제시한 고전적 항등식을 일반화하는 새로운 분수적 적분 항등식을 수립한다.
• s-볼록인 |f′|q의 경우, (x−a)^{α+1} 및 (b−x)^{α+1}를 포함하는 두 항의 합으로 경계가 유도되며, 계수는 α, s 및 베타 함수에 따라 달라진다.
• s-오목인 |f′|q의 상한은 2^{s−1}과 감마 함수를 사용하여 표현되며, s-볼록 경우보다 더 날카로운 추정치를 제공한다.
• α=1일 때 부등식은 아비치 등(2011)의 결과로 축소되어 이전 연구와의 일관성을 확인한다.
• 고전적 헤르미트-아仔다르드 부등식의 상수 1/(s+1)가 s-볼록 함수에 대해 최적임을 입증한다.
• s-오목인 |f′|q에 대한 최종 부등식은 (Γ(1+p)Γ(1+1/α)/Γ(1+p+1/α))^{1/p}라는 인자를 포함하며, 이는 α 및 p에 따른 경계의 날카움을 제어한다.