[논문 리뷰] Heron triangle and rhombus pairs with a common area and a common perimeter

Yong Zhang, Junyao Peng|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 03.

Mathematics and Applications참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대수적 곡선 위의 유리점 생성을 위한 페르마의 방법을 사용하여, 같은 면적과 둘레를 공유하는 무한히 많은 헤론 삼각형과 θ-정수 뱃모양이 존재함을 증명한다. 반면, 도출된 종수 2의 초타원곡선에 대한 유리해가 존재하지 않음으로써, 정수 이sov삼각형과 θ-정수 뱃모양 쌍이 존재하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

By Fermat's method, we show that there are infinitely many Heron triangle and $θ$-integral rhombus pairs with a common area and a common perimeter. Moreover, we prove that there does not exist any integral isosceles triangle and $θ$-integral rhombus pairs with a common area and a common perimeter.

연구 동기 및 목표

• 헤론 삼각형과 θ-정수 뱃모양이 같은 면적과 둘레를 공유할 수 있는지 확인하는 것.
• 공통된 면적과 둘레를 가진 정수 이sov삼각형과 θ-정수 뱃모양 쌍의 존재성을 조사하는 것.
• 해결책을 구성하기 위해 대수적 곡선 위의 유리점 생성을 위한 페르마의 방법을 적용하는 것.
• 면적과 둘레의 등식을 규정하는 기본 디오판틴 방정식을 분석하는 것.
• 종수 2의 곡선 분석을 통해 이sov삼각형의 경우 해가 존재하지 않음을 증명하는 것.

제안 방법

• 유리 매개변수 u, v, w를 사용하여 브라마푸트라의 공식을 활용해 헤론 삼각형을 매개변수화하고, 동차성을 확보하기 위해 w = 1로 설정한다.
• 측도 t ≥ 1을 사용하여 유리 변 길이 p와 유리 sinθ, cosθ를 갖는 θ-정수 뱃모양을 모델링한다.
• 삼각형과 뱃모양의 둘레와 면적을 동일시하는 방정식 시스템을 유도한다.
• p를 제거하여 u와 t에 대한 사차 다항 디오판틴 방정식을 도출하고, 이를 곡선 C₁: s² = g(t)로 표현한다.
• 페르마의 방법을 적용하기 위해 s = rt² + qt + 2u 형태의 이차 추측을 가정하여 유리해를 유도한다.
• 해결된 유리점 P′을 이용해 u > √3/3 조건을 만족하는 무한히 많은 유리해를 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 같은 면적과 둘레를 공유하는 헤론 삼각형과 θ-정수 뱃모양 쌍이 무한히 존재하는가?
• RQ2 정수 이sov삼각형과 θ-정수 뱃모양이 같은 면적과 둘레를 공유할 수 있는가?
• RQ3 이러한 쌍의 존재를 규정하는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ4 페르마의 유리점 생성 방법은 이러한 해결책을 구성하는 데 어떻게 적용되는가?
• RQ5 종수 2의 초타원곡선은 이sov삼각형의 경우 존재하지 않음을 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 페르마의 방법을 유리 곡선에 적용함으로써, 같은 면적과 둘레를 공유하는 무한히 많은 헤론 삼각형과 θ-정수 뱃모양 쌍이 존재함을 증명하였다.
• u = 1일 때, 헤론 삼각형 (8, 15, 17)과 변 길이 10, sinθ = 3/5인 뱃모양은 면적 60과 둘레 40을 공유한다.
• u = 2일 때, 헤론 삼각형 (1804, 2040, 1732)와 변 길이 1394, sinθ = 528/697인 뱃모양은 면적 1,472,064와 둘레 5,576을 공유한다.
• 방정식 W² = U⁶ − 4U⁴ + 8U² − 4는 오직 (U, W) = (±1, ±1)의 유리점만을 가지며, 이는 자명한 해에 해당한다.
• 이sov삼각형의 경우 비자명한 유리해가 존재하지 않으며, 따라서 그러한 정수 쌍은 존재하지 않음을 증명하였다.
• 존재하지 않음을 증명하는 데에는 종수 2 곡선의 랭크 1인 양자군과 Magma의 Chabauty 계산이 기여하였다.