[논문 리뷰] Heterotic String Models on Smooth Calabi-Yau Threefolds

Andrei Constantin|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 29.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 135인용 수 9

한 줄 요약

이 학위논문은 자유 $\mathbb{Z}_3$ 작용을 갖는 완전교차 Calabi-Yau (CICY) 다양체 위에서의 해석적이고 다중안정적인 선다발 합으로, 매끄러운 Calabi-Yau 3-fold 위에서 $E_8 \times E_8$ 히터로틱 끈의 compactification을 체계적으로 구축하는 프레임워크를 개발한다. 이러한 모델이 $\mathcal{N}=1$ 초대칭 GUT 이론을 유도하며, $SU(5)\times U(4)$ 게이지 군과 표준모형과 유사한 물질 구조를 가지며, 기하학적 이론에서의 양성자 붕괴를 억제하는 비가역적 $U(1)$ 대칭이 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

This thesis contributes with a number of topics to the subject of string compactifications. In the first half of the work, I discuss the Hodge plot of Calabi-Yau threefolds realised as hypersurfaces in toric varieties. The intricate structure of this plot is explained by the existence of certain webs of elliptic-K3 fibrations. Such manifolds arise from reflexive polytopes that can be cut into two parts along K3 slices. Any two half-polytopes over a given slice can be combined into a reflexive polytope. This fact, together with a remarkable relation on the additivity of Hodge numbers, give to the Hodge plot the appearance of a fractal. Moving on, I discuss a different type of web by looking at smooth $\mathbb{Z}_3$-quotients of complete intersection Calabi-Yau threefolds in products of projective spaces. In the second half of the work, I explore an algorithmic approach to constructing heterotic compactifications with holomorphic and polystable sums of line bundles over complete intersection Calabi-Yau threefolds that admit freely acting discrete symmetries. Such abelian bundles lead to $N=1$ GUT theories with gauge group $SU(5) imes U(4)$. The extra $U(1)$ symmetries are generically Green-Schwarz anomalous and survive in the low energy theory as global symmetries that constrain the allowed operators. The line bundle construction allows for a systematic computer search resulting in a plethora of models with one or more pairs of Higgs doublets and no exotic fields charged under the Standard Model group. In the last part of the thesis I focus on the case study of the tetraquadric threefold and address the question of the finiteness of the class of consistent and physically viable line bundle models on this manifold. Line bundle sums provide an accessible window into the moduli space of non-abelian bundles. I explore this moduli space around the abelian locus using monad bundles.

연구 동기 및 목표

• 자유 군 몫을 통한 비단순연결 위상의 매끄러운 Calabi-Yau 3-fold 위에서 물리적으로 타당한 $E_8 \times E_8$ 히터로틱 compactification을 구축하는 것.
• CICY 위에서 선다발 합을 사용하여 $\mathcal{N}=1$ 초대칭 GUT 모델을 알고리즘적으로 생성하는 방법을 개발하는 것. 이 모델은 $SU(5)\times U(4)$ 게이지 군과 최소한의 물질 구조를 가진다.
• 선다발 합의 위치 근처에서의 모듈리 공간을 기반으로 비아벨(bundle)의 구조를 탐색하고, 안정성과 정확한 입자 스펙트럼을 보장하는 것.
• 물리적 및 위상수학적 제약 조건을 적용하여, 사분계수 Calabi-Yau 초표면 위에서 일관된 선다발 모델의 유한성을 탐구하는 것.

제안 방법

• 반사 다면체와 토릭 기하학을 사용하여, 토릭 다양체 내의 초표면으로서 Calabi-Yau 3-fold를 분류하며, $K3$-섬유 절삭을 통한 타원- $K3$ 섬유망을 중심으로 한다.
• 호지 수의 가환성 성질을 설명하기 위해 호지 수에 대한 덧셈 보조정리를 적용한다.
• 단순연결 CICY의 $\mathbb{Z}_3$-몫을 통해 비단순연결 Calabi-Yau 3-fold를 구성하며, 이는 모델 간의 컨피오드 전이를 가능하게 한다.
• CICY 위에서 해석적이고 다중안정적인 선다발 합을 사용하여, $SU(5)\times U(4)$ 게이지 대칭과 표준모형 유사 물질 표현을 갖는 $\mathcal{N}=1$ GUT 모델을 실현한다.
• 선다발 합의 위치 근처에서 $S(U(4)\times U(1))$- bundles의 모듈리 공간을 기술하기 위해 모나드 구성법을 사용하며, 안정성과 정확한 장 내용을 보장한다.
• 초위상 이론의 유효성, Calabi-Yau 부피 제약 조건 등을 물리적 가정으로 적용하고, 안정성과 체른 클래스 제약 조건을 위상수학적 제약 조건으로 사용하여, 사분계수 다양체 위에서 타당한 선다발 모델의 유한성을 주장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반사 다면체의 타원- $K3$ 섬유망은 어떻게 Calabi-Yau 3-fold의 호지 플롯에서 분열 구조를 생성하는가?
• RQ2 CICY 3-fold 위에서 자유 $\mathbb{Z}_3$ 작용은 타당한 히터로틱 compactification을 지지하는 비단순연결 Calabi-Yau 다양체를 생성할 수 있는가?
• RQ3 사분계수 Calabi-Yau 초표면 위에서 일관된 $\mathcal{N}=1$ 히터로틱 선다발 모델의 구조와 유한성은 어떠한가?
• RQ4 모나드 구성법은 카일러 모듈리 공간 내 선다발 합의 위치 근처에서 비아벨 군의 모듈리 공간을 어떻게 기술하는가?
• RQ5 선다발 모델 내의 비가역적 $U(1)$ 대칭은 저에너지 효과 이론을 얼마나 제약하며, 특히 양성자 붕괴를 억제하는 데 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 토릭 다양체 내 초표면로서의 Calabi-Yau 3-fold의 호지 플롯은 타원- $K3$ 섬유망과 호지 수의 가환성 성질로 인해 분열 유사한 구조를 나타낸다.
• 비단순연결 Calabi-Yau 3-fold는 단순연결 CICY의 $\mathbb{Z}_3$-몫으로 유도되며, 많은 모델이 컨피오드 전이를 통해 연결되어 있다.
• CICY 위에서의 선다발 합 모델은 $SU(5)\times U(4)$ 게이지 군과 $\mathbf{10}$, $\overline{\mathbf{10}}$, $\mathbf{5}$, $\overline{\mathbf{5}}$, $\mathbf{1}$ 표현에서의 물질장을 갖는 $\mathcal{N}=1$ 초대칭 GUT 이론을 생성하며, 이는 최소 초대칭 표준모형과 일치한다.
• 이러한 모델 내의 비가역적 $U(1)$ 대칭은 차원 4 및 차원 5의 양성자 붕괴 연산자를 금지하는 전역 대칭으로 작용하여, 현상학적 타당성을 높인다.
• 사분계수 Calabi-Yau 초표면 위에서 일관되고 물리적으로 타당한 선다발 모델의 집합은, 카일러 콘에 대한 물리적 가정과 위상수학적 안정성 제약 조건으로 인해 유한하다.
• 모나드 구성법은 선다발 합의 위치 근처에서 다중안정적인 $S(U(4)\times U(1))$-bundles의 전체 구조를 기술하며, 이러한 모델은 카일러 모듈리 공간 내에서 여부차원 1의 부분집합을 이룬다.