[논문 리뷰] Heuristics in direction of a p-adic Brauer--Siegel theorem

Georges Gras|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전체 실수 수체 $K$의 최대 아벨 $p$-분할 프로-$p$ 확장의 갈루아군에서 토크션 부분군 $\mathrm{TK}$의 $p$-진 값매김이 판별식 $D_K$ 에 대해 로그적으로 유계임을 추측하는 고전적인 브라우어-시겔 정리의 $p$-진 대응을 제안한다. 대수적 수체 이론과 PARI/GP 를 이용한 수치적 검증을 통해, 정규화된 불변량 $C_p(K) = \mathrm{vp}(\#\mathrm{TK}) \cdot \log p / \log \sqrt{D_K}$ 를 도입하였으며, 고정된 $p$ 에 대해 $\sup_K C_p(K) < \infty$ 임을 강력한 히ュ리스틱 및 계산적 증거로 제시하여, 보편적인 $p$-진 브라우어-시겔 행동을 시사한다.

ABSTRACT

Let p be a fixed prime number. Let K be a totally real number field of discriminant D\_K and let T\_K be the torsion group of the Galois group of the maximal abelian p-ramified pro-p-extension of K (under Leopoldt's conjecture). We conjecture the existence of a constant C\_p>0 such that log(\#T\_K) $\le$ C\_p log(\sqrt(D\_K)) when K varies in some specified families (e.g., fields of fixed degree). In some sense, we suggest the existence of a p-adic analogue, of the classical Brauer--Siegel Theorem, wearing here on the valuation of the residue at s=1 (essentially equal to \#T\_K) of the p-adic zeta-function zeta\_p(s) of K.We shall use a different definition that of Washington, given in the 1980's, and approach this question via the arithmetical study of T\_K since p-adic analysis seems to fail because of possible abundant "Siegel zeros" of zeta\_p(s), contrary to the classical framework.We give extensive numerical verifications for quadratic and cubic fields (cyclic or not) and publish the PARI/GP programs directly usable by the reader for numerical improvements. Such a conjecture (if exact) reinforces our conjecture that any fixed number field K is p-rational (i.e., T\_K=1) for all p >> 0 .

연구 동기 및 목표

• 고전적인 브라우어-시겔 정리의 $p$-진 대응을 수립함으로써, 아르키메데스 설정에서의 유수와 조정자와 판별식 간의 관계를 규명하는 것.
• 전체 실수 수체의 가중치 가중치에 대해, $p$-진 값매김 $\mathrm{vp}(\#\mathrm{TK})$ 가 $\log \sqrt{D_K}$ 의 상수배로 유계임이 보장되는지 조사하는 것.
• p-진 $L$-함수에서 잠재적인 '시겔 제로'로 인해 $p$-진 해석적 방법이 실패할 수 있으므로, $\mathrm{TK}$ 를 중심으로 한 대수적 접근법을 채택하여 문제를 해결하는 것.
• 이차 및 삼차 수체의 가족을 대상으로 한 계산적 증거와 PARI/GP 코드를 제공하여 추측을 검증하는 것.
• 모든 수체가 충분히 큰 소수 $p$ 에 대해 $p$-유리적(즉, $\mathrm{TK} = 1$)임을 보다 광범위한 추측을 뒷받침하는 것.

제안 방법

• Leopoldt의 추측 하에, 전체 실수 수체 $K$ 의 최대 아벨 $p$-분할 프로-$p$ 확장의 갈루아군에서의 토크션 부분군을 $\mathrm{TK} = \mathrm{Gal}(H^{\mathrm{pr}}_K / K^c)$ 로 정의한다.
• 판별식에 대한 상대적 성장률을 측정하기 위해, 정규화된 불변량 $C_p(K) = \mathrm{vp}(\#\mathrm{TK}) \cdot \log p / \log \sqrt{D_K}$ 를 도입한다.
• exact sequence 를 통해 $\mathrm{WK}$, $\mathrm{UK}/\overline{\mathrm{EK}}$, 그리고 $p$-진 로그 함수를 연결하여 $\mathrm{TK}$ 와 정규화된 $p$-진 조정자 $\mathrm{RK}$ 를 연결한다.
• 실수 이차 및 삼차 수체(순환 및 비순환)에 대해 PARI/GP 를 사용하여 광범위한 수치 계산을 수행하며, $\mathrm{vp}(\#\mathrm{TK})$ 와 $C_p(K)$ 를 계산한다.
• 고정된 차수의 수체 가족과 타워에서 $C_p(K)$ 의 행동을 분석하여, 많은 경우 $C_p(K) < 1$ 이라는 경향을 관찰한다.
• p-진 설정이 고전적인 브라우어-시겔 정리와 어떻게 다를지 비교하며, p-진 분석이 가능할 잠재적 시겔 제로로 인해 실패할 수 있으므로, 대체로 대수적 방법으로 전환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 차수의 모든 전체 실수 수체 $K$ 에 대해, $\mathrm{vp}(\#\mathrm{TK}) \leq C_p \cdot \log \sqrt{D_K}$ 를 만족하는 균일한 유계 $C_p < \infty$ 가 존재하는가?
• RQ2 p-진 $L$-함수에서의 시겔 제로로 인해 해석적 방법이 실패할 경우, $\mathrm{TK}$ 와 같은 대수적 불변량을 통해 $p$-진 브라우어-시겔 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ3 이차 또는 삼차 수체의 가족에서 $D_K \to \infty$ 일 때, $C_p(K)$ 의 점 渐진적 행동은 어떠한가?
• RQ4 $\sup_K C_p(K) < \infty$ 라는 추측이, 모든 수체가 충분히 큰 $p$ 에 대해 $p$-유리적임을 보여주는 더 강력한 추측을 뒷받침하는가?
• RQ5 $C_p(K)$ 를 사용하여 $K^{(d)}_{\mathrm{real}}(p^e)$ 와 같은 가족에서 $p$-유리적이지 않은 수체에 대한 유한성 결과를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 이차 수체의 경우, $C_p(K)$ 값이 1 이하로 관찰되었으며, $p=2$, $k=9$, $D=17213619969^2$, $v_p(\#\mathrm{TK})=28$, $C_p=0.8234$ 와 같은 예시가 있다.
• 삼차 수체의 경우, $C_p(K)$ 값이 최소 0.2500 으로 나타났으며, $p=37$, $D=44563^2$, $v_p(\#\mathrm{TK})=1$, $C_p=0.2500$ 이다.
• 5차 및 7차 수체에서는 각각 $C_p(K)$ 값이 0.5000 및 0.3333 로 나타나, $C_p(K) \leq 1$ 향한 강력한 경향을 보였다.
• 차수 $p$ 의 순환 삼차 수체에서, $p \leq 10^8$ 까지 $v_p(\#\mathrm{TK})=1$ 인 경우는 두 가지 뿐이었으며, 이는 $C_p(K)=1$ 이 매우 드물고, 가능하면 유한할 것임을 시사한다.
• 논문은 임의의 $p$ 와 수체에 대해 $\mathrm{TK}$ 와 $C_p(K)$ 를 직접 계산할 수 있는 PARI/GP 코드를 제공하여, 향후 수치적 검증을 가능하게 한다.
• 결과는 고정된 $p$ 에 대해 $\sup_K C_p(K) < \infty$ 라는 추측을 지지하며, 고정된 $K$ 에 대해 $\limsup_p C_p(K) = 0$ 이라는 사실은 $p$-유리성 추측을 더욱 강화한다.