[논문 리뷰] Hierarchy-Based Algorithms for Minimizing Makespan under Precedence and Communication Constraints

Janardhan Kulkarni, Shi Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 28.

Scheduling and Optimization Algorithms인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 동일한 기계에서 선행 및 통신 제약 조건 하에서 제작 시간 최소화를 위한 $(1+\epsilon)$-근사 알고리즘을 제시한다. 이는 Sherali-Adams 업그레이드를 통한 계층 기반 접근 방식을 사용하며, 거의 준다항 시간 복잡도를 달성하고, 비이동성 및 통신 지연 설정으로 확장 가능하여, 비선점 케이스에서 임의의 작업 길이에 대해 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We consider the classic problem of scheduling jobs with precedence constraints on a set of identical machines to minimize the makespan objective function. Understanding the exact approximability of the problem when the number of machines is a constant is a well-known question in scheduling theory. Indeed, an outstanding open problem from the classic book of Garey and Johnson asks whether this problem is NP-hard even in the case of 3 machines and unit-length jobs. In a recent breakthrough, Levey and Rothvoss gave a $(1+ε)$-approximation algorithm, which runs in nearly quasi-polynomial time, for the case when job have unit lengths. However, a substantially more difficult case where jobs have arbitrary processing lengths has remained open. We make progress on this more general problem. We show that there exists a $(1+ε)$-approximation algorithm (with similar running time as that of Levey and Rothvoss) for the non-migratory setting: when every job has to be scheduled entirely on a single machine, but within a machine the job need not be scheduled during consecutive time steps. Further, we also show that our algorithmic framework generalizes to another classic scenario where, along with the precedence constraints, the jobs also have communication delay constraints. Both of these fundamental problems are highly relevant to the practice of datacenter scheduling.

연구 동기 및 목표

• 상수 개의 동일한 기계에서 선행 제약 조건 하에 임의의 처리 길이를 가진 작업을 스케줄링할 때의 근사 가능성 간극을 해소하기 위해.
• 단위 길이 작업에서 임의의 길이 작업으로의 $(1+\epsilon)$-근사 프레임워크를 비이동성 설정으로 확장하기 위해.
• 데이터센터 워크로드에서 핵심적인 역할을 하는 통신 지연 제약 조건을 포함한 알고리즘 프레임워크를 일반화하기 위해.
• Sherali-Adams와 같은 선형계획법 계층이 임의의 작업 길이의 더 어려운 케이스에 대해 상수 요인 근사값을 달성할 수 있는지 조사하기 위해.
• 선행 및 통신 지연과 같은 현실적인 제약 조건을 모델링하여 실용적인 데이터센터 스케줄링에 대한 이론적 기반을 제공하기 위해.

제안 방법

• 기본적인 선형계획법(선형계획) 근사의 수준을 $(\log n)^{O_{m,\epsilon}(\log \log n)}$ 수준까지 Sherali-Adams 계층을 통해 업그레이드하여 $(1+\epsilon)$-근사값을 달성한다.
• 시간 확장 그래프 위에서 작업 복제를 통해 시간 슬롯 간에 비연속적인 스케줄링을 모델링하는 분수 해를 설계한다.
• 처리 길이에 기반한 작업의 계층적 분해를 통해 시간 간격 간의 스케줄링 가능성을 그룹화하고 분석한다.
• 적절한 순서와 지연 처리를 보장함으로써 선행 및 통신 제약 조건을 존중하는 확률적 반올림 기법을 적용한다.
• 통합성 갭을 유한하게 하여 근사 보장을 증명하기 위해 부분 집합에 대한 커버링 주장과 이중 세기 기법을 사용한다.
• 저수준의 Sherali-Adams 업그레이드가 저항하는 $1|r_j,d_j|\sum p_j U'_j$ 문제의 갭 인스턴스를 구성하고, 이를 $P2|\text{prec}|C_{\max}$ 문제로 감소시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Sherali-Adams와 같은 선형계획법 계층이 선행 제약 조건 하에서 임의의 작업 길이를 가진 제작 시간 최소화 문제에 대해 $(1+\epsilon)$-근사값을 달성할 수 있는가?
• RQ2 한 대의 기계에서만 스케줄링되지만 반드시 연속적이지는 않은 비이동성 제약 조건이 완전히 선점 가능한 또는 비선점 가능한 설정보다 더 좋은 근사값을 가능하게 하는가?
• RQ3 이 프레임워크는 데이터센터 워크로드에서 종속 작업 간의 통신 지연을 포함하도록 확장될 수 있는가?
• RQ4 저수준의 Sherali-Adams 업그레이드로 $P2|\text{prec}|C_{\max}$ 문제의 작은 통합성 갭을 달성하는 데 기본적인 장벽이 존재하는가?
• RQ5 갭 인스턴스에서 작업 윈도우의 라미나 구조가 효율적인 동적 프로그래밍 솔루션을 방해하는가? 만약 그렇다면, 이는 계층의 능력을 제한하는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 작업 길이를 가진 $Pm|\text{prec}, \text{non-migratory}|C_{\max}$ 문제에 대해 $(1+\epsilon)$-근사 알고리즘을 제시하며, 거의 준다항 시간 내에 실행된다.
• 이 알고리즘은 Sherali-Adams 계층을 사용해 자연스러운 선형계획법 근사를 $O_{m,\epsilon}(\log n)^{O(\log \log n)}$ 수준까지 업그레이드함으로써 이를 달성한다.
• 이 프레임워크는 통신 지연 제약 조건을 포함하도록 일반화되어 있어, 실세계의 데이터센터 스케줄링 워크로드에 적용 가능하다.
• 저수준의 Sherali-Adams 업그레이드에 저항하는 $1|r_j,d_j|\sum p_j U'_j$ 문제의 갭 인스턴스를 구성함으로써, 이러한 문제에 대해 계층의 본질적 한계를 시사한다.
• $P2|\text{prec}|C_{\max}$ 문제로의 배낭 유형 문제 감소를 통해, 선형계획법의 통합성 갭이 저수준에서 크다는 것을 보여주지만, 스케줄링 문제의 정확한 갭은 여전히 열려 있다.
• 이 작업은 비이동성 스케줄링에서 임의의 작업 길이를 가진 경우에 대해 $(1+\epsilon)$-근사가 가능하다는 것을 보여줌으로써 오랫동안 열려 있던 열린 질문을 해결한다. 이는 이전 연구가 단위 길이 작업에 국한되었던 것을 확장한다.