[논문 리뷰] High-frequency market-making for multi-dimensional Markov processes

Pietro Fodra, Mauricio Labadie|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다차원 마코프 과정에 대해 고빈도 시장제안 전략을 개발하며, 재고 리스크, 거래비용, 그리고 방향성 베팅을 확률적 제어를 통해 통합한다. 1차 순서까지 재고 리스크에 대해 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식의 명시적 펌베이션 해를 제공하며, 거래비용을 상쇄하기 위해 최적의 스프레드가 넓어지지만, 거래당 기대 수익은 일정하게 유지됨을 보여주고, 상관관계가 있는 리스크 보상에 기반해 최적의 재고 벡터가 L²-노름에 의해 결정됨을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper we complete and extend our previous work on stochastic control applied to high frequency market-making with inventory constraints and directional bets. Our new model admits several state variables (e.g. market spread, stochastic volatility and intensities of market orders) provided the full system is Markov. The solution of the corresponding HJB equation is exact in the case of zero inventory risk. The inventory risk enters into play in two ways: a path-dependent penalty based on the volatility and a penalty at expiry based on the market spread. We perform perturbation methods on the inventory risk parameter and obtain explicitly the solution and its controls up to first order. We also include transaction costs; we show that the spread of the market-maker is widened to compensate the transaction costs, but the expected gain per traded spread remains constant. We perform several numerical simulations to assess the effect of the parameters on the PNL, showing in particular how the directional bet and the inventory risk change the shape of the PNL density. Finally, we extend our results to the case of multi-aset market-making strategies; we show that the correct notion of inventory risk is the L2-norm of the (multi-dimensional) inventory with respect to the inventory penalties.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 마코프 기반 프레임워크 하에서 다중 상태 변수를 포함한 고빈도 시장제안 모델을 확장하는 것.
• 스토크라스틱 제어 환경에서 경로에 의존하는 재고 리스크 보상과 만기 기반의 재고 리스크 보상 둘 다를 통합하는 것.
• 거래비용이 시장제안자 스프레드와 기대 수익에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 상관관계가 있는 리스크 보상 하에서 재고 벡터의 L²-노름을 사용하여 다자산 전략으로 최적 제어 프레임워크를 일반화하는 것.
• 재고 리스크에 대해 1차 순서까지 HJB 방정식의 펌베이션 해를 제공하여 실용적인 수치적 구현을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 중간가격, 스프레드, 변동성, 재고 동역학을 포함하는 다차원 마코프 과정에 대한 일반적인 HJB 방정식을 수립한다.
• 재고 및 상태 변수에 대한 가치 함수의 해를 단순화하기 위해 앤투즈를 적용하여 해를 구할 수 있는 형태로 HJB 방정식을 변형한다.
• HJB 방정식의 점프 항을 최대화함으로써 매도 및 매수 스프레드에 대한 최적 제어를 유도하며, 가치 함수의 차이를 포함하는 명시적 표현을 도출한다.
• 재고 리스크 매개변수 ε에 대한 펌베이션 기법을 사용하여 검증 방정식을 1차 순서까지 해석 가능하게 하여 분석적 유연성을 확보한다.
• 거래비용을 통합하기 위해 스프레드가 비례적으로 넓어지지만, 거래당 기대 수익은 변화하지 않음을 보여주며, 이는 비용 전가가 수익성 손실 없이 이루어짐을 시사한다.
• 대칭적이고 양의 정부호 리스크 보상 행렬 Ω와 Λ를 사용하여 재고 벡터의 L²-노름을 활용해 다자산 전략으로 모델을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재고 제약 조건이 있는 일반적인 다차원 마코프 상태 과정 하에서 고빈도 시장제안 전략은 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 경로에 의존하는 재고 리스크 보상과 만기 기반의 재고 리스크 보상은 최적의 시장제안 전략에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 거래비용은 최적의 매도-매수 스프레드와 거래당 기대 수익에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 다자산 시장제안에서 재고 리스크는 어떻게 측정되어야 하며, 상관관계는 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 재고 리스크가 작을 경우 최적 제어 정책의 구조는 어떻게 되며, 펌베이션 기법을 통해 어떻게 근사화할 수 있는가?

주요 결과

• 최적의 스프레드 ψ_α∗는 상관관계에 영향을 받지 않지만, 최적의 중심 r_α∗는 행렬 π̃를 통해 방향성 베팅과 재고 노출을 모두 반영한다.
• 거래비용으로 인해 최적의 스프레드가 넓어지지만, 거래당 기대 수익은 일정하게 유지되며, 이는 수익성 손실 없이 비용이 전가됨을 의미한다.
• 작은 재고 리스크(ε) 하에서 HJB 방정식의 해가 1차 순서까지 명시적으로 유도되었으며, 이는 펌베이션 기법을 통한 실용적 구현을 가능하게 한다.
• 최적의 재고 벡터는 이차형식 q′Ωq + ∫q′Λq dξ를 최소화함으로써 결정되며, 이는 타원형 리스크 표면을 정의하고 상관관계가 존재할 경우 다각화된 포트폴리오를 선호함을 시사한다.
• 양의 상관계수 ρ를 가진 두 자산의 경우, (1,−1) 구성이 (2,0) 또는 (1,1)보다 낮은 리스크를 가지며, 장단위 헤지의 이점을 보여준다.
• 절대 재고가 최소화되지 않지만 리스크가 상관관계가 있는 보상으로 측정될 경우, 리스크 노름을 줄이기 위해 더 높은 절대 재고를 선호할 수 있으며, 이는 (2,−1)과 (2,0)의 예시에서 확인된다.