[논문 리뷰] High-Order Extended Finite Element Methods for Solving Interface Problems

Fei Wang, Yuanming Xiao외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 21.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 26인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 이차형 타원형 인터페이스 문제를 해결하기 위한 고차수 확장 유한요소법(XFEM)을 제안하며, 이는 두 가지 비연속 Galerkin 스킴에 기반한다. 이는 고차수 정확도를 갖는다. 논문은 조각별 $H^1$-노름과 $L^2$-노름에서 최적의 오차 추정을 수립하며, 안정화 매개수를 '충분히 크다'는 조건 없이도 최적 수렴을 보장하는 매개수 우호적인 DG-XFEM 방법을 제안한다. 이는 철저한 분석과 수치 실험을 통해 검증된다.

ABSTRACT

In this paper, we study arbitrary order extended finite element (XFE) methods based on two discontinuous Galerkin (DG) schemes in order to solve elliptic interface problems in two and three dimensions. Optimal error estimates in the piecewise $H^1$-norm and in the $L^2$-norm are rigorously proved for both schemes. In particular, we have devised a new parameter-friendly DG-XFEM method, which means that no "sufficiently large" parameters are needed to ensure the optimal convergence of the scheme. To prove the stability of bilinear forms, we derive non-standard trace and inverse inequalities for high-order polynomials on curved sub-elements divided by the interface. All the estimates are independent of the location of the interface relative to the meshes. Numerical examples are given to support the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 불연속 계수를 가진 타원형 인터페이스 문제를 해결하기 위한 고차수 확장 유한요소법을 개발한다.
• 불일치 메쉬에서 $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서 최적 수렴률을 확보한다.
• DG-XFEM 스킴에서 '충분히 큰' 안정화 매개수의 필요성을 제거한다.
• 메쉬에 대한 인터페이스 위치에 영향을 받지 않는 강건한 오차 추정을 수립한다.
• 2차원 및 3차원 곡선 인터페이스에서 이론적 결과를 수치 예제로 검증한다.

제안 방법

• 불일치 메쉬에서 확장 유한요소법(XFEM)에 대한 두 가지 비연속 갈레르킨(DG) 스킴을 수립한다.
• 큰 안정화 매개수를 요구하지 않아도 최적 수렴을 보장하는 새로운 매개수 우호적인 DG-XFEM 수식을 도입한다.
• 인터페이스에 의해 생성된 곡선 부분요소에서 고차수 다항식에 대한 비표준 경계 및 역부등식을 유도한다.
• 인터페이스를 넘어서 연속성과 점프 조건을 약한 방식으로 강제하는 니츠의 방법을 적용한다.
• 이중 문제에 기반한 딜레마 추론을 사용하여 $L^2$-노름 오차 추정을 유도한다.
• 에너지 노름 및 $L^2$ 노름에서 일致성 오차를 유계화하기 위해 새로운 보간 연산자 $\Pi_h$를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차수 XFEM에 비연속 갈레르킨 안정화를 적용하면 불일치 메쉬에서 타원형 인터페이스 문제에 대해 최적 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 DG-XFEM 스킴은 '충분히 큰' 안정화 매개수가 필요 없이 최적 수렴을 유지하는가?
• RQ3 곡선 인터페이스가 있는 불일치 메쉬에서 고차수 방법에 대해 $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서 최적 오차 추정을 엄밀히 증명할 수 있는가?
• RQ4 오차 추정은 메쉬에 대한 인터페이스 위치에 영향을 받는가?
• RQ5 수치 실험은 다양한 다항식 차수와 계수 변화에 대해 이론적 수렴률을 확인하는가?

주요 결과

• 두 DG-XFEM 스킴 모두에서 다항식 차수 $p$에 대해 $H^1$-노름 오차 추정이 순서 $h^p$로 최적임을 증명하였다.
• 대칭 스킴에서 $\beta=1$일 때, 이중 추론을 통해 $L^2$-노름 오차 추정이 순서 $h^{p+1}$로 최적임을 확립하였다.
• 제안된 매개수 우호적인 DG-XFEM 방법은 큰 안정화 매개수의 필요 없이 최적 수렴을 보장한다.
• 곡선 부분요소에서 고차수 다항식에 대한 비표준 경계 및 역부등식을 유도하였으며, 이를 통해 안정성과 최적 수렴을 증명하였다.
• 수치 결과는 $p=1,2,3$에 대해 $H^1$-노름에서 $O(h^p)$ 수렴 및 $L^2$-노름에서 $O(h^{p+1})$ 수렴을 확인하였다. 다양한 계수 비율에서도 동일한 수렴을 보였다.
• 오차 추정은 인터페이스가 메쉬를 어떻게 가르는지에 따라 영향을 받지 않아, 위치에 대해 강건함을 입증하였다.