[논문 리뷰] Higher cup products on hypercubic lattices: application to lattice models of topological phases

Yu-An Chen, Sri Tata|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 09.

Theoretical and Computational Physics참고 문헌 34인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 초입방 격자에서 고차 쿠퍼 곱의 명시적 코체인 수준 공식을 유도하여 위상적 위상의 해밀토니안을 체계적으로 구성할 수 있게 한다. (3+1)D SPT 모델 $ S = \frac{1}{2}\int w_2^2 + w_1^4 $과 3-페르미온 워커-워ង 모델 사이의 이중성을 확립하고, 이 형식을 사용하여 일반적인 차원으로의 정확한 보존-페르미온 이중성과 구-웬 그라스만 적분을 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we derive the explicit formula for higher cup products on hypercubic lattices, based on the recently developed geometrical interpretation in the simplicial case. We illustrate how this formalism can elucidate lattice constructions on hypercubic lattices for various models and deriving them from spacetime actions. In particular, we demonstrate explicitly that the (3+1)D SPT $S = \frac{1}{2} \int w_2^2 + w_1^4$ (where $w_1$ and $w_2$ are the first and second Stiefel-Whitney classes) is dual to the 3-fermion Walker-Wang model constructed on the cubic lattice by Burnell-Chen-Fidkowski-Vishwanath. Other examples include the double-semion model, and also the `fermionic' toric code in arbitrary dimensions on hypercubic lattices. In addition, we extend previous constructions of exact boson-fermion dualities and the Gu-Wen Grassmann Integral to arbitrary dimensions. Another result which may be of independent interest is a derivation of a cochain-level action for the generalized double-semion model, reproducing a recently derived action on the cohomology level.

연구 동기 및 목표

• 초입방 격자에서 고차 쿠퍼 곱의 코체인 수준 형식을 개발하여 위상적 작용의 명시적 계산을 가능하게 한다.
• 이 형식을 사용하여 기존의 위상적 격자 모델, 특히 3-페르미온 워커-워옹 모델과 페르미온 토릭 코드의 해밀토니안을 도출한다.
• 초입방 격자 프레임워크를 사용하여 일반적인 차원으로의 정확한 보존-페르미온 이중성과 구-웬 그라스만 적분을 확장한다.
• 일반화된 이중-세미온 모델 작용의 코체인 수준 유도를 제공하여 기존의 코homology 수준 결과를 재현한다.
• 쿠퍼 곱 항등식을 통해 위상 모델에서 양자 세포 자동기계(QCA) 구성의 검증을 단순화한다.

제안 방법

• 세포 복합체 표기법과 쌍대 세포 구조를 사용하여 초입방 격자에서 $ \mathbb{Z}_2 $ 및 $ \mathbb{Z} $ 계수에 대한 $ \cup_i $ 곱의 명시적 공식을 유도한다.
• 쌍대 세포의 부호 있는 교차를 통한 기하학적 해석을 통해 $ \mathbb{Z} $ 계수 연산에서의 부호 인자들을 설명한다.
• 이 형식을 시공간 분할 함수에 적용하여 위상적 작용에서 부피와 경계 해밀토니안을 도출한다.
• 상대 코체인 $ C^*(N, \partial N) $ 를 표현하기 위해 확장된 격자 구조를 도입하여 경계항 분석을 가능하게 한다.
• $ \cup_1 $ 곱 항등식을 활용하여 QCA 해밀토니안의 중복성을 제거하고 항 간의 독립성을 보장한다.
• 이 형식을 사용하여 $ \mathbb{Z}_n $ 토릭 코드, 이중-세미온, 3-페르미온 워커-워옹 모델 등 다양한 모델을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 초입방 격자에서 고차 쿠퍼 곱을 코체인 수준에서 명시적으로 공식화할 수 있는가?
• RQ2 (3+1)D SPT 모델 $ S = \frac{1}{2}\int w_2^2 + w_1^4 $ 과 3-페르미온 워커-워옹 모델 사이의 이중성이 통일된 코체인 형식에서 유도될 수 있는가?
• RQ3 이 프레임워크를 사용하여 정확한 보존-페르미온 이중성과 구-웬 그라스만 적분을 일반적인 차원으로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 이중-세미온 모델의 작용을 코체인 수준에서 도출할 수 있으며, 기존의 코homology 수준 결과와 일치하는가?
• RQ5 쿠퍼 곱 항등식은 위상 모델에서 양자 세포 자동기계의 구성과 검증을 단순화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $ \mathbb{Z}_2 $ 및 $ \mathbb{Z} $ 계수에 대해 초입방 격자에서 $ \cup_i $ 곱의 명시적 코체인 수준 공식을 도출하였으며, 부호 인자는 쌍대 세포의 부호 있는 교차로 해석된다.
• 이 형식을 통해 (3+1)D SPT 모델 $ S = \frac{1}{2}\int w_2^2 + w_1^4 $ 이 쿠퍼 곱 형식을 통해 입방 격자에서 3-페르미온 워커-워옹 모델과 이중임을 증명한다.
• 이 형식은 일반적인 차원에서 $ \mathbb{Z}_n $ 토릭 코드, 이중-세미온 모델, 페르미온 토릭 코드의 해밀토니안을 체계적으로 도출할 수 있게 한다.
• 일반화된 이중-세미온 모델 작용을 코체인 수준에서 유도하여 이전에 알려진 코homology 수준 결과를 재현한다.
• $ \cup_1 $ 곱 항등식은 3-페르미온 모델의 QCA 구성에서 중복 항을 제거하여 다항식 검증을 대체로 대수적 항등식으로 단순화한다.
• 확장된 격자 구조는 상대 코체인과 경계 조건을 갖춘 확장된 격자 위의 코체인 간 일대일 대응을 가능하게 하여 경계항 분석을 용이하게 한다.