[논문 리뷰] Higher depth quantum modular forms, multiple Eichler integrals, and $\frak{sl}_3$ false theta functions

Kathrin Bringmann, Jonas Kaszián외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 23.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\frak{sl}_3$ 위상수학적 이중 함수의 특성으로서 $W^0(p)_{A_2}$의 보조 대수에서 유래한 높은 깊이를 가진 양자 모듈라 형식을 도입하며, 이들이 정수 계수의 두 개의 깊이-두 양자 모듈라 형식으로 분해됨을 보여준다. 이 구성은 이중 에이처러 적분과 이중 오차 함수 계수를 가진 비해석적 테타 급수와 연결되며, 반복 적분과 비에뉴라스 유형의 미분방정식을 통해 모듈라성을 확립한다.

ABSTRACT

We introduce and study higher depth quantum modular forms. We construct two families of examples coming from rank two false theta functions, whose "companions" in the lower half-plane can be also realized both as double Eichler integrals and as non-holomorphic theta series having values of "double error" functions as coefficients. In particular, we prove that the false theta of $\frak{sl}_3$, appearing in the character of the vertex algebra $W^0(p)_{A_2}$, can be written as the sum of two depth two quantum modular forms of positive integral weight.

연구 동기 및 목표

• 고전적 랭크-일의 경우를 초월하여 높은 깊이의 양자 모듈라 형식을 체계적으로 정의하고 연구하는 것.
• $\frak{sl}_3$ 보조 대수에서 유래한 랭크-두 위상수학적 이중 함수를 반복 에이처러 적분과 비해석적 테타 급수와 연결하는 것.
• $\frak{sl}_3$ 위상수학적 이중 함수가 정수 계수의 두 개의 깊이-두 양자 모듈라 형식으로 분해됨을 증명하는 것.
• 반복 적분과 미분방정식을 통해 이러한 형식의 모듈라 성질을 탐구하는 것.
• $W(p)_{A_2}$의 특성에 대해 $S$-행렬의 구조를 마련하는 데 기초를 다지는 것. 이는 보조 대수이론에서 알려진 결과와 유사하게.

제안 방법

• 모듈라 형식의 정규화된 적분을 통해 이중 에이처러 적분을 구성하며, 계수 $k$와 $2-k$를 가진 형식을 사용한다.
• 볼의 항등식과 그 일반화를 적용하여 부정적 테타 함수의 해석적 부분과 비해석적 부분을 연결한다.
• 이중 형식에 대한 비에뉴라스 유형의 미분방정식을 사용하여 반복 적분의 모듈라성을 검증한다.
• 자코비 도함수 기법을 활용하여 계수 2의 비해석적 부분을 조화 마스 형식과 연결한다.
• 위상수학적 이중 함수의 점근 전개를 유도하여 하부 복소평면에서 에이처러 적분과 연결한다.
• 결과적으로 얻어진 함수가 양자 모듈라성의 오차가 해석적임을 보여줌으로써, 제이지어의 정의에 따라 양자 모듈라 형식임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 높은 랭크 리 대수의 위상수학적 이중 함수로부터 체계적으로 정의되고 구성될 수 있는 높은 깊이의 양자 모듈라 형식이 존재하는가?
• RQ2 이중 에이처러 적분과 이중 오차 함수 계수를 가진 비해석적 테타 급수는 위상수학적 이중 함수의 모듈라 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 $\frak{sl}_3$ 위상수학적 이중 함수는 정수 계수의 두 개의 깊이-두 양자 모듈라 형식의 합으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 반복 에이처러 적분은 부정적 테타 함수의 비해석적 부분을 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $(2,2p)$-토러스 링크의 색칠된 조지 다항식의 尾를, 유리함수를 제외한 $F(q)$의 일부로 식별할 수 있는가?

주요 결과

• $W^0(p)_{A_2}$의 특성에서 유래한 $\frak{sl}_3$ 위상수학적 이중 함수는 계수 $k \in \mathbb{Z}_{\geq 2}$인 두 개의 깊이-두 양자 모듈라 형식으로 분해된다.
• 이 위상수학적 이중 함수는 각각 이중 오차 함수 계수를 가진 비해석적 테타 급수에 대응하는 두 개의 이중 에이처러 적분의 합과 동일하다.
• 부정적 테타 급수의 비해석적 부분은 모듈라 형식의 반복 적분으로 실현되며, $\lambda = 0$ 및 $A = A_1$ 조건을 만족하는 비에뉴라스 미분방정식을 만족한다.
• 반복 에이처러 적분의 모듈라성은 정규화된 적분의 극한 과정을 통해 증명되며, 계수 2의 모듈라 객체로 수렴함을 보여준다.
• 구성된 양자 모듈라 형식의 모듈라성 오차는 해석적임을 입증하여, 제이지어의 정의에 따라 양자 모듈라 형식임을 확인한다.
• 위상수학적 이중 함수 $F(q)$와 $(2,2p)$-토러스 링크의 색칠된 조지 다항식의 尾 사이에 연결 고리가 존재하며, 이는 유리함수 $1-q$를 제외한 채로 성립한다.