[논문 리뷰] Higher-dimensional generalizations of the Thouless charge pump

Anton Kapustin, Lev Spodyneiko|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 20.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 D차원 폐포된 다양체로 매개변수화된, 에너지 갭이 있는 U(1) 대칭성을 가진 시스템의 가족에 대해 위상적 불변량을 정의하여 Thouless 전하 펌프를 고차원 시스템으로 일반화한다. 유한한 크기의 시스템에서의 단서적 진동과 전하 이동에 기반한 귀납적 추론을 통해, 이 불변량이 단거리 얽힘 상태에서 정수임을 증명하며, 1차원 Thouless 펌프를 위상적 안정성과 함께 고차원으로 확장한다.

ABSTRACT

We define and study analogs of the Thouless charge pump for many-body gapped systems in dimension $D$. We show how to attach a topological invariant to a $D$-dimensional family of such systems, provided all of them have an on-site $U(1)$ symmetry. For a large class of families we argue that this topological invariant is an integer. In the case of gapped systems of free fermions in two dimensions, the invariant can be expressed in terms of the curvature of the Bloch-Berry connection. We also obtain a new formula for the Thouless charge pump in 1d which involves only static linear response and is analogous to the Streda formula for Hall conductivity.

연구 동기 및 목표

• 1차원 시스템에서의 Thouless 전하 펌프 메커니즘을 U(1) 대칭성을 가진 고차원 에너지 갭이 있는 시스템으로 확장하기.
• 토러스가 아닌 일반적인 D차원 폐포된 다양체로 매개변수화된, 에너지 갭이 있는 시스템의 가족에 대해 위상 불변량을 정의하기.
• 단거리 얽힘 상태와 비퇴화된 기본 상태를 가정할 때, 이 불변량이 정수임을 입증하기.
• 1차원 경우와 유사하게 고차원에서 정수화된 전하 이동을 위한 수학적으로 엄밀한 프레임워크를 제공하기.
• 1차원 Thouless 공식을 정적 선형 반응을 사용하여 재구성하여, 홀 전도도의 Streda 공식과 유사한 형태로 일반화하기.

제안 방법

• D차원 다양체 위에서 정의된 D-매개변수를 가진, 에너지 갭이 있는 U(1) 대칭성 힘스톤리안의 가족을 정의하며, 주기성 가정을 피한다.
• 매개변수 공간을 두 개의 수축 가능한 차트와 그 겹침에서 정의된 세 번째 보간 가족으로 덮어 불변량을 국소화한다.
• 마지재 차원에서 길이 4L인 유한한 크기의 시스템을 구성하여 표면 효과에서 비롯한 위상 기여를 분리한다.
• 매개변수 공간 내에서 고리 경로를 따라 매개변수가 변화하는 단서적 진동 프로토콜을 적용하고, 세포당 순전하 이동을 측정한다.
• 기울기 전개와 compactly supported 함수를 사용하여 하위 주요 항 q′−q를 분리하며, 이 항이 정수 불변량임을 증명한다.
• 차원 D에 대한 귀납법을 적용하여 D차원 불변량을 유한한 크기의 하위계에서의 (D−1)-차원 불변량으로 환원하며, 오차 항은 L−∞로 억제된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지 갭이 있는 시스템에 대해 주기성 조건 없이 고차원 Thouless 전하 펌프를 정의할 수 있는가?
• RQ2 단거리 얽힘 상태에서 고차원에서의 단서적 사이클링 동안 전하 이동 불변량이 정수로 양자화되는가?
• RQ3 일반적인 D차원 폐포된 다양체로 매개변수화된 에너지 갭이 있는 시스템의 가족에 대해 위상 불변량을 어떻게 부여할 수 있는가?
• RQ4 U(1) 대칭성과 단거리 얽힘 상태가 불변량의 정수성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 1차원 Thouless 공식은 정적 선형 반응만을 사용하여 재구성할 수 있는가? 이는 홀 전도도의 Streda 공식과 유사한가?

주요 결과

• 논문은 U(1) 대칭성을 가진 D차원 에너지 갭이 있는 시스템의 가족에 대해 위상 불변량을 정의한다. 이는 매개변수 공간이 D차원 폐포된 다양체임을 가정한다.
• 단거리 얽힘 상태에서 이 불변량은 정수이며, 1차원 Thouless 펌프에서의 전하 이동의 양자화를 일반화한다.
• 에너지 갭과 U(1) 대칭성을 유지하는 연속 변형에 대해 이 불변량은 안정하다.
• 1차원 Thouless 전하 펌프는 정적 선형 반응만을 사용하여 재구성되며, 홀 전도도의 Streda 공식과 유사한 공식을 도출한다.
• D차원에서의 불변량은 지수적으로 작은 오차를 제외하고는, 유한한 크기의 하위계에서의 저차원 불변량과 동일하며, 이는 귀납적 증명을 가능하게 한다.
• 모서리 기여의 차이 q′−q는 시간 역전 가족과의 스택킹을 통해 L→∞ 극한을 취함으로써 정수 위상 불변량임을 증명한다.