[논문 리뷰] Higher geometric prequantum theory

Domenico Fiorenza, Christopher L. Rogers외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 31.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 고차 기하학으로 기하 prequantum 이론을 확장하여, 고차 주기둥 접속(고차 게르베와 접속)을 통한 prequantization를 공식화한다. 고차 게이지 및 코우런트 군oids의 정준 타워를 구성하고, 아티야 수열이 하이퍼 하밀턴 심플렉티즘의 무한군 확장을 통해 양자화군으로서의 역할을 하며, 국소 관측가의 고차 파아송 괄호가 L-무한군 대수의 확장을 이끌어내어 n-플렉틱 기하학을 일반화하고, 확장 양자장 이론 및 초현실 기하학에의 적용 가능성을 제공한다.

ABSTRACT

We develop the refinement of geometric prequantum theory to higher geometry (higher stacks), where a prequantization is given by a higher principal connection (a higher gerbe with connection). We show fairly generally how there is canonically a tower of higher gauge groupoids and Courant groupoids assigned to a higher prequantization, and establish the corresponding Atiyah sequence as an integrated Kostant-Souriau infinity-group extensions of higher Hamiltonian symplectomorphisms by higher quantomorphisms. We also exhibit the infinity-group cocycle which classifies this extension and discuss how its restrictions along Hamiltonian infinity-actions yield higher Heisenberg cocycles. In the special case of higher differential geometry over smooth manifolds we find the L-infinity-algebra extension of Hamiltonian vector fields which is the higher Poisson bracket of local observables and show that it is equivalent to the construction proposed by the second author in n-plectic geometry. Finally we indicate a list of examples of applications of higher prequantum theory in the extended geometric quantization of local quantum field theories and specifically in string geometry.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 번들의 기하 prequantum 이론을 고차 스택과 고차 게르베와 같은 고차 기하 구조로 일반화하기.
• 고차 prequantization와 관련된 정준 고차 게이지 군oids와 코우런트 군oids 타워 수립하기.
• 아티야 수열이 고차 하밀턴 심플렉티즘의 무한군 확장으로서 고차 양자화군으로서의 역할을 식별하기.
• 이 확장을 분류하는 무한군 코chains를 식별하고, 하밀턴 무한군 작용 하에서 고차 하이젠베르크 코chains 유도하기.
• n-플렉틱 기하학에서 하밀턴 벡터장의 L-무한군 대수 확장을 국소 관측가의 고차 파아송 괄호로 복원 및 일반화하기.

제안 방법

• 고차 스택에서의 고차 주기둥 접속을 사용하여 고차 기하학에서 prequantization를 공식화하며, 선다발을 고차 게르베와 접속으로 일반화한다.
• 고차 prequantization 데이터로부터 고차 게이지 군oids와 코우런트 군oids의 타워를 구성하고, 고전적 기하 양자화의 구조를 일반화한다.
• 아티야 수열이 통합된 코스타ント-수리외 무한군 확장으로 식별되며, 고차 하밀턴 심플렉티즘과 고차 양자화군을 연결한다.
• 확장을 분류하는 무한군 코chains를 도출하고, 하밀턴 무한군 작용에 따른 제약 조건이 고차 하이젠베르크 코chains를 유도함을 보인다.
• n-플렉틱 설정에서 하밀턴 벡터장의 L-무한군 대수 확장을 국소 관측가의 고차 파아송 괄호로 재구성한다.
• 이 틀을 局소 양자장 이론과 초현실 기하학에서의 확장 기하 양자화에 적용하여 물리적 관련성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하 prequantum 이론을 고차 기하 구조, 예를 들어 고차 스택과 고차 게르베로 체계적으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 고차 prequantization와 관련된 고차 게이지 군oids와 코우런트 군oids의 정준 고차 구조는 무엇인가?
• RQ3 고차 심플렉틱 기하학의 맥락에서 아티야 수열은 어떻게 일반화되며, 무엇을 분류하는가?
• RQ4 무한군 코chains는 고차 하밀턴 심플렉티즘의 고차 양자화군에 의한 확장을 어떻게 분류하는가?
• RQ5 고차 하이젠베르크 코chains는 하밀턴 무한군 작용으로부터 어떻게 유도되며, 양자화 과정에서 그 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 고차 게르베와 접속을 통한 고차 prequantization로부터 고차 게이지 군oids와 코우런트 군oids의 정준 타워가 구성된다.
• 아티야 수열이 고차 하밀턴 심플렉티즘의 무한군 확장으로서 고차 양자화군으로 식별되며, 고전적 코스타ント-수리외 구성의 일반화이다.
• 고차 심플렉티즘의 고차 양자화군에 의한 확장을 분류하는 무한군 코chains가 명시적으로 식별된다.
• 이 코chains의 하밀턴 무한군 작용에 따른 제약 조건은 고차 하이젠베르크 코chains를 유도하며, 고전적 하이젠베르크 군 확장을 일반화한다.
• n-플렉틱 기하학에서 하밀턴 벡터장의 L-무한군 대수 확장이 국소 관측가의 고차 파아송 괄호와 동치임을 보였다.
• 이 틀은 局소 양자장 이론에서의 확장 기하 양자화의 기초를 제공하며, 초현실 기하학에의 적용 가능성을 제공한다.