[논문 리뷰] Higher order approximation for stochastic wave equation

Xing Liu, Weihua Deng|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 추가적인 공간-시간 가우시안 노이즈에 의해 구동되는 공간 분수적 파동 방정식에 대한 고차수 수치적 방법을 제안한다. 스펙트럼 갈레르킨 공간 근사와 수정된 확률 삼각함수 시간 적분기법을 조합하여, 추가적인 정규성 조건 하에서 시간 방향으로 강한 수렴 속도 2를 달성하며, 기존 방법에 비해 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

The infinitesimal generator (fractional Laplacian) of a process obtained by subordinating a killed Brownian motion catches the power-law attenuation of wave propagation. This paper studies the numerical schemes for the stochastic wave equation with fractional Laplacian as the space operator, the noise term of which is an infinite dimensional Brownian motion or fractional Brownian motion (fBm). Firstly, we establish the regularity of the mild solution of the stochastic fractional wave equation. Then a spectral Galerkin method is used for the approximation in space, and the space convergence rate is improved by postprocessing the infinite dimensional Gaussian noise. In the temporal direction, when the time derivative of the mild solution is bounded in the sense of mean-squared $L^p$-norm, we propose a modified stochastic trigonometric method, getting a higher strong convergence rate than the existing results, i.e., the time convergence rate is bigger than $1$. Particularly, for time discretization, the provided method can achieve an order of $2$ at the expenses of requiring some extra regularity to the mild solution. The theoretical error estimates are confirmed by numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 분수 라플라스 연산자를 공간 연산자로 갖는 스펙트럼 분수적 파동 방정식에 대한 고차수 수치적 스킴을 개발한다.
• 기본적인 1.0 수준을 초월해 시간 수렴 속도를 향상시키기 위해 수정된 확률 삼각함수 방법을 도입함으로써 시간 수렴 속도를 향상시킨다.
• 스펙트럼 갈레르킨 프레임워크 내에서 무한차원 가우시안 노이즈의 후처리를 통해 공간 수렴 속도를 향상시킨다.
• 부드러운 해에 대한 추가 정규성 조건 하에서 엄밀한 오차 추정치를 수립한다.
• 이론적 결과를 수치 실험을 통해 검증하여 향상된 수렴 속도를 확인한다.

제안 방법

• 분수 라플라스 연산자의 고유함수 전개를 활용하여 공간 이산화에 스펙트럼 갈레르킨 방법을 적용한다.
• 갈레르킨 근사의 공간 수렴 속도를 향상시키기 위해 무한차원 가우시안 노이즈에 후처리를 적용한다.
• 스펙트럼 갈레르킨 프레임워크 내에서 무한차원 가우시안 노이즈에 후처리를 적용한다.
• 수정된 확률 삼각함수 적분기법을 시간 이산화에 설계하여, 확률적 파동 방정식의 구조에 맞추어진다.
• 시간 방향으로 강한 수렴 속도 2를 달성하며, 이는 시간 도함수의 미드 솔루션의 $ L^p $-노름에서의 평균 제곱 수렴 조건이 만족될 경우에 성립한다.
• 분수 라플라스 연산자와 관련된余弦 및 사인 연산자의 추정치를 이용하여 이론적 오차 경계를 유도한다.
• 수치적 스킴에서 스토크스 적분을 위해 필요한 분수 브라운 운동의 증분을 시뮬레이션하기 위해 코レス키 분해를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 분수적 파동 방정식에 대한 수치적 스킴의 시간 수렴 속도를 1.0을 초월하여 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 스펙트럼 갈레르킨 방법에서 노이즈 항의 후처리가 확률적 PDE의 공간 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 시간 방향으로 강한 수렴 속도 2를 달성하기 위해 필요한 미드 솔루션의 정규성 조건은 무엇인가?
• RQ4 분수 라플라스 연산자의 스펙트럼 구조가 수치적 스킴의 안정성과 수렴성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 수치적 스킴에서 분수 브라운 운동을 포함하는 스토크스 적분을 효율적이고 정확하게 시뮬레이션하는 방법은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 수정된 확률 삼각함수 방법은 시간 방향으로 강한 수렴 속도 2를 달성하며, 기존의 표준 수렴 속도 1.0을 초월한다.
• 스펙트럼 갈레르킨 프레임워크 내에서 무한차원 가우시안 노이즈의 후처리를 통해 공간 수렴 속도가 향상된다.
• 이론적 오차 추정치는 전역 오차가 $ au^2 imes ext{정규성 항} $ 으로 유 bounds 되며, 정규성 항은 분수 슈바르츠 공간에 속한 초기 자료를 포함한다.
• 수렴 속도 2는 $ rac{d}{dt}u $ 가 평균 제곱 $ L^p $-노름에서 유계이고 $ ho > 2eta $ 라는 조건 하에서 달성되며, 여기서 $ ho $ 는 정규성 지수이다.
• 수치 실험을 통해 이론적 오차 추정치가 검증되었으며, 공간 및 시간 모두에서 기대하는 수렴 차수를 확인하였다.
• 분수 브라운 운동의 증분은 분수 브라운 운동의 자기 유사성과 정적 증분 성질에서 유도된 공분산 행렬의 코レス키 분해를 통해 효율적으로 시뮬레이션된다.