[논문 리뷰] Higher order elicitability and Osband's principle

Tobias Fissler, Johanna F. Ziegel|RePEc: Research Papers in Economics|2015. 03. 27.

Risk and Portfolio Optimization인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럼 측도가 유한 지지를 가지는 스펙트럼 위험 측도를 포함한 고차수 기능형 함수들이 적절한 분위수와 함께 결합될 경우 공동으로 측정가능하다는 것을 입증한다. 주요 결과로는, (Value at Risk, Expected Shortfall) 쌍이 약한 정규성 조건 하에서 공동으로 측정가능하다는 것이며, 이는 리스크 관리 분야에서 오랫동안 미해결이었던 열린 문제를 해결하고, 단일 기능형 함수를 넘어서 일致한 스코어 함수의 범위를 확장한다.

ABSTRACT

A statistical functional, such as the mean or the median, is called elicitable if there is a scoring function or loss function such that the correct forecast of the functional is the unique minimizer of the expected score. Such scoring functions are called strictly consistent for the functional. The elicitability of a functional opens the possibility to compare competing forecasts and to rank them in terms of their realized scores. In this paper, we explore the notion of elicitability for multi-dimensional functionals and give both necessary and sufficient conditions for strictly consistent scoring functions. We cover the case of functionals with elicitable components, but we also show that one-dimensional functionals that are not elicitable can be a component of a higher order elicitable functional. In the case of the variance this is a known result. However, an important result of this paper is that spectral risk measures with a spectral measure with finite support are jointly elicitable if one adds the `correct' quantiles. A direct consequence of applied interest is that the pair (Value at Risk, Expected Shortfall) is jointly elicitable under mild conditions that are usually fulfilled in risk management applications.

연구 동기 및 목표

• 비측정가능한 성분을 포함하는 기능형 함수들이 공동으로 측정가능한가에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 오스반드의 원칙을 다차원 기능형 함수로 확장하고 엄밀히 일致한 스코어 함수를 특성화하기 위해.
• 스펙트럼 측도가 유한 지지를 가지는 스펙트럼 리스크 측도가 공동으로 측정가능한 조건을 설정하기 위해.
• (Value at Risk, Expected Shortfall) 쌍이 약한 정규성 가정 하에서 공동으로 측정가능하다는 것을 입증하기 위해.
• 전통적인 일차원 기능형 함수를 초월한 고차수 측정가능성에 대한 일반적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 벡터 값 기능형 함수에 대한 엄밀히 일치하는 스코어 함수를 사용하여 고차수 측정가능성에 대한 일반적 프레임워크를 개발한다.
• 모멘트와 고차수 기능형 함수 사이의 전단사 사상에 의해 노출 원리를 적용하여 공동 측정가능성을 구성한다.
• 정의 가능성과 적절한 스코어 함수의 볼록성을 사용하여 측정가능성에 대한 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• 함수 해석학과 측도 이론적 추론을 활용하여 예측 벡터의 변형에 따른 스코어 함수의 행동을 분석한다.
• 레마 2.9와 제안 2.13을 적용하여 구성된 스코어 함수의 엄밀한 볼록성과 엄밀한 일치성을 증명한다.
• 스펙트럼 측도를 분해하고 분위수의 알려진 측정가능성을 활용하여 스펙트럼 리스크 측도에 대한 명시적 스코어 함수를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비측정가능한 기능형 함수가 고립 상태일 경우 측정가능하지 않지만, 벡터 값 기능형 함수의 일부로 포함될 수 있는가?
• RQ2 (Value at Risk, Expected Shortfall) 쌍이 공동으로 측정가능한 조건은 무엇인가?
• RQ3 오스반드의 원칙을 비측정가능한 성분을 포함하는 다차원 기능형 함수로 확장할 수 있는가?
• RQ4 스펙트럼 측도가 유한 지지를 가지는 고차수 기능형 함수에 대한 엄밀히 일치하는 스코어 함수는 무엇으로 특징지어지는가?
• RQ5 약한 정규성 조건 하에서 스펙트럼 리스크 측도를 분위수와 함께 공동으로 측정가능하게 할 수 있는가?

주요 결과

• (Value at Risk, Expected Shortfall) 쌍은 약한 정규성 조건 하에서 공동으로 측정가능하며, 이는 리스크 관리 분야에서의 활용에 대한 공식적 기초를 제공한다.
• 스펙트럼 측도가 유한 지지를 가지는 스펙트럼 리스크 측도는 적절한 분위수와 함께 결합될 경우 공동으로 측정가능하다.
• 노출 원리를 통해 (T1, ..., Tk) 기능형 함수가 분위수와 유한 지지를 가지는 스펙트럼 리스크 측도를 포함할 경우 k-측정가능하다는 것이 입증되었다.
• 논문은 분산이 단독으로 측정가능하지 않지만 평균과 쌍을 이루면 측정가능한 벡터 기능형 함수의 일부가 된다는 것을 증명하며, 기존 결과를 일반화한다.
• VaR와 ES 쌍에 대한 엄밀히 일치하는 스코어 함수가 존재하며, 명시적으로 구성 가능하다. 이 스코어 함수는 아래로 유계이며 관련 함수는 엄밀히 증가한다.
• k차원 기능형 함수에 대한 엄밀히 일치하는 스코어 함수의 일반적 특성화를 제공하며, 단일 변수의 경우를 초월한 측정가능성 이론을 확장한다.