[논문 리뷰] Higher Order Topological Phases: A General Principle of Construction

Dumitru Călugăru, Vladimir Juričić외 1명|MPG.PuRe (Max Planck Society)|2018. 08. 27.

Advanced Mathematical Theories and Applications인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 상호 반대칭하는 헤르미트 행렬과 이산 대칭성 깨짐 윌리엄슨 질량을 활용하여 임의의 차원과 대칭성 계열에서 고차원 토폴로지적(HOT) 상태를 구성하는 일반 원칙을 제안한다. p−1개의 추가적인 반대칭 행렬이 존재할 경우 최대 n차원 HOT 상태를 실현할 수 있음을 보이며, 노드 루프 및 디랙 반도체에서의 명시적 실현 사례를 포함하여 표면 제로 모드가 없는 새로운 4차원 상태를 포함한다.

ABSTRACT

We propose a general principle for constructing higher-order topological (HOT) phases. We argue that if a $D$-dimensional first-order or regular topological phase involves $m$ Hermitian matrices that anti-commute with additional $p-1$ mutually anti-commuting matrices, it is conceivable to realize an $n$th-order HOT phase, where $n=1, \cdots, p$, with appropriate combinations of discrete symmetry-breaking Wilsonian masses. An $n$th-order HOT phase accommodates zero modes on a surface with codimension $n$. We exemplify these scenarios for prototypical three-dimensional gapless systems, such as a nodal-loop semimetal possessing SU(2) spin-rotational symmetry, and Dirac semimetals, transforming under (pseudo-)spin-$\frac{1}{2}$ or 1 representations. The former system permits an unprecedented realization of a fourth-order phase, without any surface zero modes. Our construction can be generalized to HOT insulators and superconductors in any dimension and symmetry class.

연구 동기 및 목표

• 모든 차원과 대칭성 계열에서 고차원 토폴로지적(HOT) 상태를 체계적으로 구성하기 위한 일반적 프레임워크를 수립하는 것.
• 1차 토폴로지적 시스템에서 고차원 토폴로지적 상태가 발생하는 최소 조건을 규명하는 것.
• 노드 루프 및 디랙 반도체와 같은 대표적인 3차원 금속성 시스템에서 HOT 상태의 발생을 보여주는 것.
• 대칭성 깨짐 윌리엄슨 질량에 의해 표면 상태가 순차적으로 차원 감소함으로써 고차원 토폴로지적 모드가 발생하는 방식을 설명하는 것.
• HOT 절연체, 초전도체, 반도체로의 구성 확장을 통해 4차원 상태가 표면 모드 없이도 실현 가능한지를 보여주는 것.

제안 방법

• D차원 시스템에서 1차 토폴로지적 상태를 기술하는 m개의 헤르미트 행렬을 식별하는 데 기반한다.
• 이 방법은 m개의 행렬과 반대칭하는 p−1개의 추가적인 상호 반대칭 행렬을 도입하여 잠재적 토폴로지 질량 항을 나타낸다.
• 이산 대칭성 깨짐 윌리엄슨 질량은 이러한 p−1개의 행렬 조합으로 적용되어 표면 상태의 차원 감소를 유도한다.
• 효과적 단입자 해밀토니안, 예를 들어 $ \hat{h}^{\rm NL}_{\rm WSDW} = N^{2}_{1}(\mathbf{k}) \left[ \sum^{3}_{j=1} \Delta_{j} \sigma_{j} \otimes N'_{j}(\mathbf{k}) \right] $를 사용하여 스핀 밀도파 순서를 모델링한다.
• WSDW 순서의 $ D_{4h} $ 점군 대칭 분류를 활용하여 표면 상태에 미치는 토폴로지적 영향을 규명한다.
• 밀도 상태의 스케일링 $ g(E) \sim |E| $을 통해 밴드 노드 루프의 안정성을 확인하여, 모든 WSDW 순서 하에서도 노드 루프가 보호됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 차원과 대칭성 계열에서 고차원 토폴로지적 상태를 체계적으로 구성할 수 있는 일반 원칙을 수립할 수 있는가?
• RQ2 서로 반대칭하는 행렬이 1차에서 n차까지의 토폴로지적 상태 계층을 가능하게 하는 역할은 무엇인가?
• RQ3 특정 점군 대칭성을 가진 윌리엄슨 질량 항은 금속성 시스템에서 표면 상태의 차원 감소를 어떻게 유도하는가?
• RQ4 표면 제로 모드가 없는 노드 루프 반도체에서 4차원 토폴로지적 상태를 실현할 수 있는가?
• RQ5 디랙 및 노드 루프 반도체와 같은 금속성 시스템에서 고차원 모드의 토폴로지적 보호 메커니즘은 무엇인가?

주요 결과

• 표면 제로 모드가 없는 노드 루프 반도체에서 3개의 서로 다른 WSDW 순서를 순차적으로 적용하여 4차원 토폴로지적 상태를 실현하였다.
• $ \mathrm{B_{1u}} $ WSDW 순서는 2차원 드럼헤드 표면 상태를 $ k_x=0 $ 및 $ k_y=0 $에 따라 1차원 아크 상태로 감소시켜 제2차 NLSM을 실현한다.
• $ \mathrm{A_{2u}} $ WSDW 순서는 아크 상태를 가장자리에 있는 4개의 고립된 0차원 모드 상태로 추가로 감소시켜 제3차 NLSM을 실현한다.
• $ \mathrm{B_{2u}} $ WSDW 순서는 표면 상태를 완전히 금속성으로 막아, 표면 또는 허브 모드가 없는 제4차 NLSM을 만든다.
• 모든 고차원 전이 동안에도 봉우리 노드 루프가 보존되며, 밀도 상태의 스케일링 $ g(E) \sim |E| $을 통해 확인되었다.
• 이 구성은 모든 알트란트-지르니바우어 계열과 차원에서 고차원 토폴로지적 절연체, 초전도체, 반도체로 일반화된다.