[논문 리뷰] Higher-Rank Non-Abelian Tensor Field Theory: Higher-Moment or Subdimensional Polynomial Global Symmetry, Algebraic Variety, Noether's Theorem, and Gauge

Juven Wang, Kai Xu외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 29.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 n차원 공간에서 차수-(m−1)인 고차모멘트 다항식 전역 대칭성을 도입하며, 임bedding과 foliation을 통해 대수적 아핀 부분다양체 위의 부분차원 대칭성과 연결한다. 노이터 정리의 일반화와 이 대칭성의 게이지화를 통해, 대칭 텐서 게이지 장과 반대칭 위상적 장이론을 통합하는 하이브리드 프레임워크를 포함한 새로운 비아벨 등급-m 텐서 게이지 이론의 클래스를 유도한다.

ABSTRACT

With a view toward a theory of fracton and embeddon in condensed matter, we introduce a higher-moment polynomial degree-(m-1) global symmetry, acting on complex scalar/vector/tensor fields. We relate this higher-moment global symmetry of $n$-dimensional space, to a lower degree (either ordinary or higher-moment, e.g., degree-(m-1-$\ell$)) subdimensional or subsystem global symmetry on layers of $(n-\ell)$-submanifolds. These submanifolds are algebraic affine varieties (i.e., solutions of polynomials). The structure of layers of submanifolds as subvarieties can be studied via mathematical tools of embedding, foliation and algebraic geometry. We also generalize Noether's theorem for this higher-moment polynomial global symmetry. We can promote the higher-moment global symmetry to a local symmetry, and derive a new family of higher-rank-m symmetric tensor gauge theory by gauging. By further gauging a discrete charge conjugation symmetry, we derive a new more general class of non-abelian rank-m tensor gauge field theory: a hybrid class of (symmetric or non-symmetric) higher-rank-m tensor gauge theory and anti-symmetric tensor topological field theory, generalizing [arXiv:1909.13879]'s theory interplaying between gapless and gapped sectors.

연구 동기 및 목표

• n차원 공간에서 텐서 장에 작용하는 차수-(m−1)인 고차모멘트 다항식 전역 대칭성을 수립하는 것.
• 이 전역 대칭성을 대수적 아핀 다양체로 구성된 (n−ℓ)-차원 부분다양체 위의 낮은 차수의 부분차원 또는 시스템 대칭성과 연결하는 것.
• 이 고차모멘트 대칭성에 대해 노이터 정리를 일반화하고, 이를 국소 대칭으로의 게이지화를 가능하게 하는 것.
• 이 전역 대칭성을 국소 대칭으로 승격시켜 새로운 고랭크-m 대칭 텐서 게이지 이론의 가족을 구성하는 것.
• 추가로 이산 전하 쌍대 대칭성을 게이지화하여, 고립된 및 비고립된 영역을 통합하는 하이브리드 비아벨 등급-m 텐서 게이지 이론으로 이 프레임워크를 확장하는 것.

제안 방법

• 대수기하학, 임베딩 이론, 그리고 포일리에션 도구를 활용하여 다항방정식의 해로 나타나는 (n−ℓ)-차원 부분다양체의 층을 분석한다.
• n차원에서 복소 스칼라, 벡터 또는 텐서 장에 작용하는 차수-(m−1) 다항식 전역 대칭성을 정의한다.
• 변분 원리를 사용하여 고차모멘트 전역 대칭성에 대한 일반화된 노이터 전류와 보존 법칙을 유도한다.
• 표준 게이지화 절차를 통해 전역 대칭성을 국소 대칭으로 승격시켜 고랭크-m 대칭 텐서 게이지 이론을 도출한다.
• 이산 전하 쌍대 대칭성을 도입하고, 이를 게이지화하여 대칭 텐서 게이지 장과 반대칭 위상적 장 이론을 통합하는 하이브리드 이론을 생성한다.
• 대수적 다양체의 프레임워크를 사용하여 부분다양체 대칭 층의 기하학적 구조를 기술하고, 전역 대칭 실현에서의 역할을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n차원 공간에서 차수-(m−1)인 고차모멘트 다항식 전역 대칭성을 체계적으로 정의하고, 다항방정식의 해로 나타나는 낮은 차원의 부분다양체 위의 부분차원 대칭성과 어떻게 연결할 수 있는가?
• RQ2 이 고차모멘트 전역 대칭성에 대해 노이터 정리의 일반화된 형태는 무엇이며, 이를 통해 보존 전류가 어떻게 도출되는가?
• RQ3 이러한 대칭성의 게이지화가 일관된 고랭크-m 텐서 게이지 이론으로 이어지는 방식은 무엇인가?
• RQ4 특히 대수적 아핀 다양체는 어떤 기하학적 구조로 나타나며, 부분차원 대칭성을 지지하는 자연스러운 부분다양체로 작용하는가?
• RQ5 추가로 이산 대칭을 게이지화하여 대칭 텐서 게이지 장과 반대칭 위상적 장 이론을 통합할 수 있으며, 그 결과로 나타나는 물리적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 차수-(m−1)인 고차모멘트 다항식 전역 대칭성이 n차원 공간의 텐서 장에 정의되며, 표준 전역 대칭성의 일반화이다.
• 이 대칭성은 다항방정식의 해로 나타나는 대수적 아핀 다양체로 구성된 (n−ℓ)-차원 부분다양체 위에서 낮은 차수의 전역 대칭성을 유도함을 보였다.
• 일반화된 노이터 정리가 도출되어 고차모멘트 대칭성과 관련된 보존 전류를 제공하며, 표준 노이터 절차를 확장한다.
• 고차모멘트 전역 대칭성의 게이지화로 인해 새로운 고랭크-m 대칭 텐서 게이지 이론의 가족이 도출되며, 이러한 대칭성의 장 이론적 실현이 가능해진다.
• 추가로 이산 전하 쌍대 대칭성을 게이지화함으로써, 대칭 텐서 게이지 장과 반대칭 위상적 장 이론이 하이브리드 비아벨 등급-m 텐서 게이지 이론으로 통합됨을 보였다.
• 이 프레임워크는 부분다양체가 부분차원 대칭성을 지지하는 데 자연스럽게 대수적 다양체로 기술되며, 임베딩과 포일리에션 기법을 통한 기하학적 분류가 가능함을 드러냈다.