[논문 리뷰] Higher symmetric powers of tautological bundles on Hilbert schemes of points on a surface

Luca Scala|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 26.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 33인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 표면의 점들에 대한 Hilbert 스킴 위의 타우토로지컬 번들의 고차 대칭거듭제곱 $ S^kL^{[n]} $ 의 Bridgeland-King-Reid 변환에 대한 기하학적 특성화를 수립한다. Hilbert-Chow 사상에 의한 직접상(image)에 대해 유한한 감소 필터링을 구축하며, 그 필터링의 각 조각은 고차 제한 연산자 $ D^l_L $ 의 핵을 통해 제어된다. 이를 통해 정규성 조건 하에서 휘어진 대칭거듭제곱의 스펙트럴 시퀀스와 코homological 소멸 정리가 도출된다.

ABSTRACT

We study general symmetric powers $S^k L^{[n]}$ of a tautological bundle $L^{[n]}$ on the Hilbert scheme $X^{[n]}$ of $n$ points over a smooth quasi-projective surface $X$, associated to a line bundle $L$ on $X$. Let $V_L$ be the $\mathfrak{S}_n$-vector bundle on $X^n$ defined as the exterior direct sum $L \boxplus \cdots \boxplus L$. We prove that the Bridgeland-King-Reid transform $\mathbfΦ(S^k L^{[n]})$ of symmetric powers $S^k L^{[n]}$ is quasi isomorphic to the last term of a finite decreasing filtration on the natural vector bundle $S^k V_L$, defined by kernels of operators $D^l_L$, which operate locally as higher order restrictions to pairwise diagonals. We use this description and the natural filtration on $(S^k V_L)^{\mathfrak{S}_n}$ induced by the decomposition in direct sum, to obtain, for $n =2$ or $k \leq 4$, a finite decreasing filtration $\mathcal{W}^\bullet$ on the direct image $μ_*(S^k L^{[n]})$ for the Hilbert-Chow morphism whose graded sheaves we control completely. As a consequence of this structural result, we obtain a chain of cohomological consequences, like a spectral sequence abutting to the cohomology of symmetric powers $S^k L^{[n]}$, an effective vanishing theorem for the cohomology of symmetric powers $S^k L^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A$ twisted by the determinant, in presence of adequate positivity hypothesis on $L$ and $A$, as well as universal formulas for their Euler-Poincaré characteristic.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 표면 위의 점들에 대한 Hilbert 스킴 위의 타우토로지컬 번들의 고차 대칭거듭제곱 $ S^kL^{[n]} $ 의 코homology 를 연구하는 것.
• Hilbert-Chow 사상에 의한 직접상 $ \rho_*S^kL^{[n]} $ 의 구조를 유한한 감소 필터링 $ \mathcal{W}^\bullet $ 을 통해 이해하는 것.
• L 과 A 에 대한 정규성 조건 하에서 $ S^kL^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A $ 에 대해 스펙트럴 시퀀스와 소멸 정리 등의 코homological 결과를 도출하는 것.
• 타우토로지컬 번들의 대칭거듭제곱에 대한 오일러-포앵카르에 지표의 보편 공식을 제공하는 것.

제안 방법

• Bridgeland-King-Reid 동치를 사용하여 $ S^kL^{[n]} $ 를 $ S^kV_L $ 위의 필터링의 마지막 항과 코herent하게 유사한 복합체로 변환한다. 여기서 $ V_L $ 는 $ \mathfrak{S}_n $--equivariant 번들 $ L^{\boxplus n} $ 이다.
• 쌍방의 대각선에서 국소적으로 작용하는 고차 제한 연산자 $ D^l_L $ 를 정의하고, 그들의 핵을 사용하여 $ S^kV_L $ 위의 필터링을 구성한다.
• $ S^kV_L $ 의 $ \mathfrak{S}_n $-불변 분해를 이용해 $ \rho_*S^kL^{[n]} $ 위에 필터링 $ \mathcal{W}^\bullet $ 를 유도하며, 그 조각들이 제어 가능하도록 한다.
• 코homology 를 계산하기 위해 스펙트럴 시퀀스 기법을 적용하며, 특히 $ n=2 $ 또는 $ k\leq 4 $ 의 경우에 중점을 둔다.
• Koszul 복합체와 다중터서(multitors)를 사용해 불변량을 분석하고 오일러-포앵카르에 지표에 대한 보편 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Bridgeland-King-Reid 변환의 $ S^kL^{[n]} $ 의 구조는 무엇인가?
• RQ2 Hilbert-Chow 사상에 의한 직접상 $ \rho_*S^kL^{[n]} $ 는 어떻게 제어 가능한 조각들을 가진 감소 필터링으로 구성될 수 있는가?
• RQ3 L 과 A 가 충분히 양의 조건을 만족할 때, $ S^kL^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A $ 에 대해 성립하는 코homological 소멸 정리는 무엇인가?
• RQ4 $ S^kL^{[n]} $ 의 오일러-포앵카르에 지표에 대한 보편 공식은 무엇이 있는가?

주요 결과

• Bridgeland-King-Reid 변환의 $ S^kL^{[n]} $ 는 고차 제한 연산자 $ D^l_L $ 의 핵으로 정의된 $ S^kV_L $ 위의 유한한 감소 필터링의 마지막 항과 코herent하게 유사하다.
• 특히 $ n=2 $ 또는 $ k\leq 4 $ 인 경우, $ \rho_*S^kL^{[n]} $ 에 대해 유한한 감소 필터링 $ \mathcal{W}^\bullet $ 이 구성되며, 그 조각들이 명시적으로 제어된다.
• 직접상 $ \rho_*S^kL^{[n]} $ 에 대한 필터링으로부터 유도된 스펙트럴 시퀀스가 $ S^kL^{[n]} $ 의 코homology 를 수렴한다.
• 효율적인 소멸 정리가 도출된다: $ L $ 과 $ A $ 가 충분히 양일 경우 $ H^q(X^{[n]}, S^kL^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A) = 0 $ 이다. ($ q>0 $)
• 모든 $ n $ 과 $ k $ 에 대해 유효한 보편 공식이 도출되며, 오일러-포앵카르에 지표 $ \chi(X^{[n]}, S^kL^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A) $ 의 값을 제공한다.