[논문 리뷰] Hilbert-Kunz functions of surface rings of type ADE

Daniel Brinkmann|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 96인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정수 계수를 가진 대수적으로 닫힌 체의 양의 특성에서 두 차원 표면 환의 ADE 유형(A_n, D_n, E_6, E_7, E_8)에 대한 힐버트-쿠른츠 함수를 계산한다. 행렬 분해와 싸지지 모듈 이론을 이용하여 힐버트-쿠른츠 함수에 대한 명시적 공식을 수립하고, 해당 환의 힐버트-쿠른츠 계수가 G가 SL(2,C)의 대응하는 유한부분군일 때 2 - 1/|G|임을 증명한다. 본 연구는 양의 특성에서 모든 ADE 표면 특이점에 대한 이러한 함수의 첫 번째 완전한 계산을 제공한다.

ABSTRACT

In this thesis we compute the Hilbert-Kunz functions of two-dimensional rings of type ADE by using representations of their indecomposable, maximal Cohen-Macaulay modules in terms of matrix factorizations, and as first syzygy modules of homogeneous ideals. For these computations we need to compute the Hilbert-series of the involved first syzygy modules as well as the fact that the surface rings of type ADE defined over the complex numbers are the rings of invariants of C[x,y] under actions defined by the finite subgroups of SL2(C). Finally, we will show that the developed tools can be used to compute Hilbert-Kunz functions of two-dimensional rings of type ADE with respect to other (monomial) ideals than the maximal. Moreover, Hilbert-Kunz functions of two-dimensional Fermat rings can be computed by the same method. There is also a paper, named "The Hilbert-Kunz functions of two-dimensional rings of type ADE", which gives a survey of main ideas and results. Moreover, the main theorem from Monskys paper "The Hilbert-Kunz multiplicity of an irreducible trinomial" will be generalized to a non-standard graded situation. This result will be used to study the behavior of the Hilbert-Kunz multiplicity in degenerations of the hypersurface rings defnied by those specific trinomials. Once more I want to thank my supervisor Holger Brenner for his guidance and friendship during the years.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성에서 두 차원 표면 환의 모든 ADE 유형(A_n, D_n, E_6, E_7, E_8)에 대한 힐버트-쿠른츠 함수를 계산하는 것.
• 이 환들의 힐버트-쿠른츠 계수를 결정하고, 그것이 G가 SL(2,C)의 대응하는 유한부분군일 때 2 - 1/|G|와 일치함을 확인하는 것.
• 힐버트-쿠른츠 이론의 맥락에서 싸지지 번들의 기하학적 성질과 행렬 분해의 대수적 구조 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• Knörrer의 주기성에 의해 고차원 환으로의 결과 확장을 다루고, 이러한 설정에서 싸지지 모듈의 자유성에 대해 분석하는 것.

제안 방법

• ADE 유형의 초곡면 환 위에서 최대 코hen-맥컬레이 모듈을 기술하기 위해 행렬 분해를 활용한다.
• 모노미얼 이상수의 첫 번째 싸지지 모듈 이론을 적용하여 힐버트 급수를 계산하고, 힐버트-쿠른츠 함수를 유도한다.
• 푸에르비우스 역상과 벡터 번들의 안정성 조건을 이용하여 양의 특성에서 싸지지 모듈의 행동을 분석한다.
• 한의 δ-함수와 극한 힐버트-쿠른츠 계수를 이용하여 싸지지 모듈의 비준거성 및 분할 행동을 탐지한다.
• Knörrer의 주기성 정리를 적용하여 고차원 환의 힐버트-쿠른츠 함수를 ADE 표면 환의 것과 연결한다.
• CoCoA를 통한 계산 대수학을 활용하여 핵심 결과(예: 정리 2.31의 유리근사에서의 floor 함수)를 구현하고 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 특성에서 A_n, D_n, E_6, E_7, E_8 유형의 표면 환에 대한 힐버트-쿠른츠 함수의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ2 ADE 환의 모노미얼 이상수의 싸지지 모듈이 큰 푸에르비우스 거듭제곱에서 언제 자유 또는 분할되는가?
• RQ3 ADE 표면 환의 힐버트-쿠른츠 계수는 항상 2 - 1/|G|와 일치하는가? 이는 특성 0에서의 군 G ⊂ SL(2,C)와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 Knörrer의 주기성을 통해 구성된 고차원 환의 힐버트-쿠른츠 함수는 ADE 표면 사례로부터 유도될 수 있는가?
• RQ5 ADE 환의 모노미얼 이상수의 싸지지 모듈이 언제 코헨-맥컬레이 또는 자유가 되는가? 이는 δ-함수와 유리근사와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• A_n 환에 대한 힐버트-쿠른츠 함수는 명시적으로 계산되었으며, 주기가 n+1로 나누어지는 준다항식임이 입증되었다.
• n ≥ 4인 D_n 환의 경우, 역상과 싸지지 모듈을 통해 힐버트-쿠른츠 함수가 주기 2n으로 나누어지는 것으로 결정되었다.
• E_6, E_7, E_8 환의 힐버트-쿠른츠 계수는 각각 |G| = 120, 180, 240일 때 2 - 1/|G|임이 확인되었다.
• 특성 5에서 E_8 환의 (X^100, Y^100, Z^75)에 대한 싸지지 모듈은 R(-135) ⊕ R(-140)로 분할되며, e ≥ 2일 때 HK(I,R,5^e) = (2928/25)·25^e임을 도출하였다.
• R = k[X,Y,Z]/(X^3 + Y^3 + Z^4) 환의 경우, 힐버트-쿠른츠 함수가 HK(R,5^e) = (61/25)·25^e를 만족함을 확인하여 계수 공식을 검증하였다.
• T = k[U_1,…,U_n,X,Y,Z]/(∑U_i^2 + F(X,Y,Z))로 정의된 고차원 환 T의 최대 이상수의 싸지지 모듈의 힐버트 급수를 계산하였으며, 음수 계수를 가짐을 보여 코헨-맥컬레이가 아님을 증명하였다.