[논문 리뷰] Hilbert's Tenth Problem over Function Fields of Positive Characteristic Not Containing the Algebraic Closure of a Finite Field

Kirsten Eisentraeger, Alexandra Shlapentokh|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 11.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 상수체가 유한체의 대수적 폐쇄를 포함하지 않는 양의 특성의 함수체 위에서 힐베르트의 제10 문제와 일阶논리 이론의 결정불가성을 증명한다. $p^s$-승의 원소들의 존재론적 정의를 구성함으로써, 저자들은 이전 결과를 상수체에 대한 제약 없이 확장하여, 매개변수 없이 존재론적 및 일阶논리 설정 모두에서 결정불가성을 입증한다.

ABSTRACT

We prove that the existential theory of any function field $K$ of characteristic $p> 0$ is undecidable in the language of rings provided that the constant field does not contain the algebraic closure of a finite field. We also extend the undecidability proof for function fields of higher transcendence degree to characteristic 2 and show that the first-order theory of {\bf any} function field of positive characteristic is undecidable in the language of rings without parameters.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성의 대수적으로 닫힌 상수체 위의 일변수 함수체에 대한 결정불가성 문제를 해결하기 위해.
• 상수체가 대수적으로 닫혀 있지 않고 유한체의 대수적 폐쇄도 포함하지 않는 함수체로 기존의 결정불가성 결과를 확장하기 위해.
• 이전 구성에서 상수체의 $p$-차수 확장을 필요로 하지 않도록 하여, $p^s$-승의 원소들의 존재론적 정의를 일반화하기 위해.
• 모든 양의 특성의 함수체에서 링 언어로 매개변수 없이 일阶논리 결정불가성을 확립하기 위해.
• 특성 $p > 0$ 경우에서 함수체의 결정불가성 분류를 완성하기 위해 남아있는 갭을 메우기 위해.

제안 방법

• 상수체가 대수적으로 닫혀 있지 않은 함수체 $K$를 포함하는 체 $G$를 구성하고, 상수체의 대수적 폐쇄를 첨가하여 $M$을 형성한다.
• $M$ 내에서 $p$-승이 아닌 원소 $z$를 식별하여 $M/F(z)$가 분리 가능하게 하며, $z$가 $p$-승이 아님을 보장한다.
• 간단한 영과 극을 가지는 유리 함수 $t = (w - c_1)/(w - c_2)$를 정의하고, 분기 및 판별식 문제를 피하기 위해 선택한다.
• $t$의 영과 극의 소인수 분해에 대해 근사 기저의 분리성과 정수성을 이용하여, 1차 소수로의 분해가 분기되지 않음을 보장한다.
• 확장의 구조를 유지하고 정의 가능성을 보장하기 위해 복합체 $K = G(t, heta, heta_0, \text{계수}, \text{근})$를 구성한다.
• 보조정리 3.3과 [ES09]의 결과를 적용하여 $P(K,t)$가 존재론적으로 정의 가능하다는 것을 결론내고, 이는 매개변수 없이 첫째순서 이론의 결정불가성을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상수체가 유한체의 대수적 폐쇄를 포함하지 않는 양의 특성의 함수체에서 힐베르트의 제10 문제가 결정불가한가?
• RQ2 상수체의 $p$-차수 확장을 요구하지 않고도 이러한 함수체에서 $p^s$-승의 원소들의 집합을 존재론적으로 정의할 수 있는가?
• RQ3 모든 양의 특성의 함수체의 첫째순서 이론은 링 언어로 매개변수 없이 여전히 결정불가한가?
• RQ4 존재론적 정의 가능성이 특성 2와 비가산 체로까지 확장될 수 있는가?
• RQ5 상수체와 체 확장의 어떤 조건이 $p^s$-승의 원소들의 정의 가능성과 그로 인한 결정불가성 가능성을 허용하는가?

주요 결과

• 상수체가 유한체의 대수적 폐쇄를 포함하지 않는 한, 임의의 양의 특성의 함수체 $K$의 존재론적 이론은 결정불가하다.
• 집합 $P(K) = \{(x, x^{p^s}) : x \in K, s \geq 0\}$는 임의의 양의 특성의 함수체에서 존재론적으로 정의 가능하며, 이로 인해 이전 상수체에 대한 가정이 제거된다.
• 모든 양의 특성의 함수체의 첫째순서 이론은 링 언어로 매개변수 없이 결정불가하다.
• 증명은 특성 2로까지 확장되어 모든 양의 특성에서의 결정불가성 결과를 완성한다.
• 구성은 상수체의 $p$-차수 확장을 의존하지 않으며, 이는 [Shl00]과 [Eis03]의 이전 결과를 일반화한다.
• $P(K,t)$의 정의 가능성이 $({\mathbb{Z}}, |, +)$의 해석을 가능하게 하여, 링 언어로 매개변수 없이 첫째순서 이론의 결정불가성을 이끌어낸다.