[논문 리뷰] Hirzebruch classes and motivic Chern classes for singular (complex) algebraic varieties

Jean‐Paul Brasselet, Joerg Schuermann외 1명|ArXiv.org|2004. 05. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 30인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 모티브 코homology 클래스와 히르체브루흐 클래스를 사용하여 특이 복소代수다양체에 대한 특성 클래스의 통합 이론을 제시한다. 혼합 호지 모듈과 대수적 코바르던스를 이용해, $ T_y: K_0(\text{var}/X) \to H_*(X) \otimes \mathbb{Q}[y] $ 라는 자연스러운 변환을 구성하며, 이는 $ y = -1 $ 에서 코hen 클래스(Chern class)와 $ y = 0 $ 에서 토드 클래스(Todd class)를 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper we study some new theories of characteristic homology classes for singular complex algebraic varieties. First we introduce a natural transformation T_{y}: K_{0}(var/X) -> H_{*}(X,Q)[y] commuting with proper pushdown, which generalizes the corresponding Hirzebruch characteristic. Here K_{0}(var/X) is the relative Grothendieck group of complex algebraic varieties over X as introduced and studied by Looijenga and Bittner in relation to motivic integration. T_{y} is a homology class version of the motivic measure corresponding to a suitable specialization of the well known Hodge polynomial. This transformation unifies the Chern class transformation of MacPherson and Schwartz (for y=-1) and the Todd class transformation in the singular Riemann-Roch theorem of Baum-Fulton-MacPherson (for y=0). In fact, T_{y} is the composition of a generalized version of this Todd class transformation due to Yokura, and a new motivic Chern class transformation mC_{*}: K_{0}(var/X)-> G_{0}(X)[y], which generalizes the total lambda-class of the cotangent bundle to singular spaces. Here G_{0}(X) is the Grothendieck group of coherent sheaves, and the construction of mC_{*} is based on some results from the theory of algebraic mixed Hodge modules due to M.Saito. In the final part of the paper we use the algebraic cobordism theory of Levine and Morel to lift mC_{*} further up to a natural transformation mC'_{*} from K_{0}(var/X) to a suitable universal Borel-Moore weak homology theory. Moreover, all our results can be extended to varieties over a base field k, which can be embedded into the complex numbers.

연구 동기 및 목표

• 특이 리만-로흐 정리에서 코헨-스미스-맥퍼슨 클래스와 토드 클래스 변환을 하나의 매개수 $ y $ 로 매개화된 특성 클래스 가족으로 통합하는 것.
• 코herent sheaf의 쿠르트렌지 그룹에서 대수적 코바르던스 이론 $ \Omega_* $ 로의 모티브 코호모로지 클래스 변환 $ mC_* $ 를 확장하여 보편적 형태를 달성하는 것.
• 대수적 혼합 호지 모듈 이론을 이용해 특이 다양체에 대한 특성 클래스의 모티브적 구성법을 제공하는 것.
• 맥퍼슨의 특이 다양체에 대한 특성 클래스의 통합 이론에 대한 열린 질문에 답하기 위해, 알려진 불변량들을 보간하는 자연 변환 $ T_y $ 를 구성하는 것.

제안 방법

• 혼합 호지 모듈 클래스 사상 $ mH $ 와 그레디에이트 드라마 사상 $ gr^F_{-*}DR $ 의 복합을 통해, $ mC_*: K_0(\text{var}/X) \to G_0(X) \otimes \mathbb{Z}[y] $ 라는 모티브 코호모로지 클래스 변환을 정의한다.
• 적절한 토드 클래스 변환 $ td_{(1+y)} $ 와 $ mC_* $ 의 복합으로 히르체브루흐 클래스 변환 $ T_y $ 를 구성하며, 적절한 적응성과 적절한 적합성(proper pushforward)을 확보한다.
• 대수적 코바르던스 $ \Omega_* $ 의 보편성과 매끄러운 다양체에 대한 등장사상 $ \omega_* $ 를 이용해 $ mC_* $ 를 $ mC'_*: K_0(\text{var}/X) \to \Omega_*(X) \otimes_{\mathbb{L}_*} \mathbb{Z}[y,y^{-1}] $ 로 올린다.
• 차원 $ d $ 를 가진 매끄러운 $ X $ 에 대해 정규화 조건을 설정하여, $ mC'_*([\text{id}_X]) = \tilde{\lambda}_y(T^*X) \cdot [X] $ 를 만족시키며, 여기서 $ \tilde{\lambda}_y $ 는 방향 있는 보렌-무어 호모로지 이론에서의 총 $ \lambda $-클래스이다.
• $ G_0(X) \otimes \mathbb{Z}[y,y^{-1}] $ 에서의 $ \gamma $-필터링과 고차 코호모로지 클래스를 이용해 $ \tilde{\lambda}_y(T^*X) $ 를 $ \tilde{c}_j(TX) $ 로 표현하며, 이는 이항계수와 $ y $ 의 거듭제곱에 의해 가중된 코호모로지 클래스의 비자명한 가중치를 보여준다.
• 모든 기하적 연산과의 적합성을 보장하기 위해, $ mC'_* $ 가 사영 투영과 가환하며, 매끄러운 사상에 대해 버드리에 리만-로흐 공식을 만족시킴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 특성 클래스 변환으로 특이 리만-로흐 정리에서 코헨-스미스-맥퍼슨 클래스와 토드 클래스 변환을 통합할 수 있는가?
• RQ2 코herent sheaf에서부터 보편적인 대수적 코바르던스 이론 $ \Omega_* $ 로 모티브 코호모로지 클래스를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 특이 다양체에 대한 모티브 코호모로지 클래스의 정규화 조건은 무엇이며, 이는 코 tangent bundle의 $ \lambda $-클래스와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 모티브 코호모로지 클래스와 그 코바르던스로의 올림에서 고차 코호모로지 클래스와 $ \gamma $-필터링은 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 이 구성은 기저 체 $ k \subset \mathbb{C} $ 를 가진 다양체로 일반화될 수 있으며, 투영과 정규화를 유지하는가?

주요 결과

• 변환 $ T_y $ 는 적절한 적합성과 매끄러운 $ X $ 에서의 정규화 조건 $ T_y([\text{id}_X]) = \widetilde{td}_{(y)}(TX) \cap [X] $ 에 의해 유일하게 결정되며, 이는 $ y = -1 $ 에서 코헨 클래스와 $ y = 0 $ 에서 토드 클래스 변환을 통합한다.
• 모티브 코호모로지 클래스 변환 $ mC_* $ 는 $ gr^F_{-*}DR \circ mH $ 의 복합으로 구성되며, 여기서 $ mH $ 는 다양체 $ f: Y \to X $ 를 이격된 상수 호지 모듈 $ f_! \mathbb{Q}_Y^H $ 의 클래스로 매핑하는 사상이다.
• 코바르던스로의 올림 $ mC'_* $ 는 $ mC'_*([\text{id}_X]) = \tilde{\lambda}_y(T^*X) \cdot [X] $ 를 만족하며, $ \tilde{\lambda}_y $ 는 이항계수와 $ y $ 의 거듭제곱으로 가중된 $ \tilde{c}_j(TX) $ 의 합으로 표현되며, 이는 단순한 코호모로지 클래스를 초월한 비자명한 의존성을 보여준다.
• 정규화 조건 $ mC_* $ 는 단순히 $ \sum \tilde{c}_j(TX) \cdot [X] $ 가 아니며, $ \sum_{i=j}^d (-1)^j \binom{d-j}{d-i} y^{i+j-d} $ 의 수정 인자로 표현되며, 이는 $ \gamma $-필터링의 곱셈 형식군 법칙을 반영한다.
• $ mC'_* $ 는 외부 곱과 가환하며, 매끄러운 사상에 대해 버드리에 리만-로흐 공식을 만족한다: $ \tilde{\lambda}_y(T^*_f) \cdot f^*mC'_* = mC'_*f^* $, 이는 인발에 대한 적합성을 보장한다.
• 이 구성은 임의의 체 $ k \subset \mathbb{C} $ 를 가진 다양체로 확장 가능하며, 모든 결과가 기저 체 변경에 대해 유지되며, 모티브적 설정에서의 강건성과 보편성을 보여준다.