[논문 리뷰] Hirzebruch manifolds and positive holomorphic sectional curvature

Bo Yang, Fangyang Zheng|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 20.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모든 히르체부르크 다양체 $M_{n,k} = \mathbb{P}(H^k \oplus 1_{\mathbb{CP}^{n-1}})$ 가 각각의 카플러 클래스 내에서 양의 헬름홀츠 섹션 곡률 ($H>0$) 을 갖는 카플러 계량을 가짐을 증명한다. 칼라비의 $\mathbb{C}^*$-_bundle 계량에 대한 가설과 콪actification 기법을 사용하여, 저자들은 히친의 구성 방식을 일반화하고, 이러한 계량들이 카플러 콘의 진부분집합을 이룬다는 것을 보이며, 이는 이전 예시들과는 다르게 곡률의 압축 행동을 보인다.

ABSTRACT

This paper is the first step in a systematic project to study examples of Kähler manifolds with positive holomorphic sectional curvature ($H > 0$). Previously Hitchin proved that any compact Kähler surface with $H>0$ must be rational and he constructed such examples on Hirzebruch surfaces $M_{2, k}=\mathbb{P}(H^{k}\oplus 1_{\mathbb{CP}^1})$. We generalize Hitchin's construction and prove that any Hirzebruch manifold $M_{n, k}=\mathbb{P}(H^{k}\oplus 1_{\mathbb{CP}^{n-1}})$ admits a Kähler metric of $H>0$ in each of its Kähler classes. We demonstrate that the pinching behaviors of holomorphic sectional curvatures of new examples differ from those of Hitchin's which were studied in the recent work of Alvarez-Chaturvedi-Heier. Some connections to recent works on the Kähler-Ricci flow on Hirzebruch manifolds are also discussed. It seems interesting to study the space of all Kähler metrics of $H>0$ on a given Kähler manifold. We give higher dimensional examples such that some Kähler classes admit Kähler metrics with $H>0$ and some do not.

연구 동기 및 목표

• 양의 헬름홀츠 섹션 곡률 ($H>0$) 을 갖는 카플러 다양체를 체계적으로 연구하는 것. 이 곡률 조건은 양의 이분절 곡률보다 약한 조건이지만, 여전히 강력한 위상수학적 및 기하학적 성질을 암시한다.
• 히르체부르크 표면 $M_{2,k}$ 에서 히친의 $H>0$ 계량 구성 방식을 고차원 히르체부르크 다양체 $M_{n,k}$ 로 일반화하는 것.
• 주어진 카플러 다양체 위에서 모든 $H>0$ 를 갖는 카플러 계량의 공간의 구조를 조사하는 것. 특히 이 공간이 경로연결인지, 또는 카플러 콘의 진부분집합을 이루는지 여부를 조사한다.
• 카플러-리치 흐름과 $H>0$ 계량 사이의 관계를 탐색하는 것. 특히 흐름에 의해 $H>0$ 가 유지되지 않는다는 점을 다룬다.

제안 방법

• 카플러 잠재함수를 섬유 좌표에 따라 의존시키는 방식으로, $\mathbb{CP}^{n-1}$ 위의 $\mathbb{C}^*$-_bundle 에 대해 칼라비의 가설을 적용하여 카플러 계량을 구성한다.
• 완전화를 통해 $\mathbb{P}(L \oplus 1)$ 에서의 카플러 계량을 얻기 위해 계량을 완비화한다. 여기서 $L$ 은 복소선다발이다.
• 히친의 원래 구성 방식을 일반 가설의 특수한 경우로 재구성하여 통합된 프레임워크를 확립한다.
• 카플러 잠재함수와 코안드라 연결을 통해 유도된 곡률 공식을 사용하여 헬름홀츠 섹션 곡률을 분석한다.
• 새로운 예시에서 $H$ 의 압축 행동이 히친의 예시와 어떻게 다른지, 특정 방향에서의 점점 감소하는 곡률 행동을 계산하여 밝혀낸다.
• 히르체부르크 다양체 $M_{n,k}$ 에서의 교차 이론을 사용하여, $k > n$ 일 때 일부 카플러 클래스에서 총 스칼라 곡률이 음수가 될 수 있음을 보이며, 이는 $H>0$ 계량이 전체 카플러 콘을 메우지 못함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히르체부르크 다양체 $M_{n,k}$ 의 모든 카플러 클래스가 양의 헬름홀츠 섹션 곡률을 갖는 카플러 계량을 가질 수 있는가?
• RQ2 새로운 예시에서 헬름홀츠 섹션 곡률의 압축 행동은 히친의 원래 구성인 $M_{2,k}$ 와 어떻게 다를까?
• RQ3 주어진 카플러 다양체 위에서 $H>0$ 를 갖는 계량의 공간은 경로연결인가, 특히 $M_{n,k}$ 에서는 그렇단 말인가?
• RQ4 카플러-리치 흐름은 히르체부르크 다양체에서 헬름홀츠 섹션 곡률의 양의 성질을 유지하는가?
• RQ5 $\mathbb{CP}^r \times \mathbb{CP}^s$ 의 완전교차곡선, 특히 이차형태가 $(p,2)$ 인 초면에서 $H>0$ 계량을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 히르체부르크 다양체 $M_{n,k} = \mathbb{P}(H^k \oplus 1_{\mathbb{CP}^{n-1}})$ 는 각각의 카플러 클래스 내에서 $H>0$ 를 갖는 카플러 계량을 가진다.
• 카플러 클래스 중에서 $H>0$ 계량을 갖는 집합은 전체 카플러 콘의 진부분집합이며, $k > n$ 일 때 일부 클래스에서 총 스칼라 곡률이 음수가 되므로 이를 통해 이를 증명한다.
• 새로운 예시에서의 헬름홀츠 섹션 곡률은 히친의 원래 예시와는 다른 압축 행동을 보이며, 특히 특정 방향에서의 점점 감소하는 곡률 감쇠 행동이 두드러진다.
• 카플러-리치 흐름은 헬름홀츠 섹션 곡률의 양의 성질을 유지하지 않으며, 곡률 진화 분석을 통해 이를 입증한다.
• $\mathbb{CP}^r \times \mathbb{CP}^s$ 에서의 높이가 $(p,2)$ 인 매끄러운 초면 $M^n$ 에서 $H>0$ 계량의 존재는 가능하지만 보장되지는 않으며, $p > r+1$ 이고 큰 섬유 클래스일 경우 스칼라 곡률이 음수가 될 수 있다.
• 결과적으로 $H>0$ 는 카플러 계량 공간에서 '크고 열린' 조건임을 확인한다. 각 카플러 클래스 내에서 이러한 계량들의 집합은 열려 있으며 비어 있지 않다.