[논문 리뷰] Hitchin's connection, Toeplitz operators and symmetry invariant deformation quantization

Jørgen Ellegaard Andersen|ArXiv.org|2006. 11. 06.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 25인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 위상적 제약 조건 하에 전량 가능하고 콪트랙트한 심플렉틱 다양체 위의 강성 있는 힐베르트 구조의 해석적 가닥에 대해 히친의 접속의 존재를 확립한다. 토플리츠 연산자를 사용하여 매끄러운 함수 위에 형식적 접속을 구성하며, 그 평행 이동은 베레진-토플리츠 변형 양자화 간의 동치를 유도한다. 히친의 접속이 프로젝티브 평탄할 경우 형식적 접속은 평탄해지며, 이는 대칭을 보존하는 변형 양자화를 제공한다. 모듈리 공간의 평탄한 SU(n)-접속에서, 이는 매핑 클래스 군에 대한 불변성을 갖는 양자화로 이어진다.

ABSTRACT

We establish that Hitchin's connection exist for any rigid holomorphic family of Kahler structures on any compact pre-quantizable symplectic manifold which satisfies certain simple topological constraints. Using Toeplitz operators we prove that Hitchin's connection induces a unique formal connection on smooth functions on the symplectic manifold. Parallel transport of this formal connection produces equivalences between the corresponding Berezin-Toeplitz deformation quantizations. - In the cases where the Hitchin connection is projectively flat, the formal connections will be flat and we get a symmetry-invariant formal quantization. If a certain cohomological condition is satisfied a global trivialization of this algebra bundle is constructed. As a corollary we get a symmetry-invariant deformation quantization. Finally, these results are applied to the moduli space situation in which Hitchin's originally constructed his connection. First we get a proof that the Hitchin connection in this case is the same as the connection constructed by Axelrod, Della Pietra and Witten. Second we obtain in this way a mapping class group invariant formal quantization of the smooth symplectic leaves of the moduli space of flat SU(n)-connections on any compact surface.

연구 동기 및 목표

• 특정 위상적 제약 조건 하에, 전량 가능하고 콱트랙트한 심플렉틱 다양체 (M,ω) 위의 강성 있는 힐베르트 가닥에 대해 히친의 접속 존재를 확립한다.
• 히친의 접속이 토플리츠 연산자를 통해 매끄러운 함수 위에 형식적 접속을 유도하며, 그 평행 이동이 베레진-토플리츠 변형 양자화 간의 동치를 유도함을 보인다.
• 히친의 접속이 프로젝티브 평탄할 경우, 유도된 형식적 접속이 평탄해지며, 이는 대칭을 보존하는 형식적 양자화를 유도함을 증명한다.
• 코homological 조건 하에 대수 번들의 전역 트ivialization을 구성하며, 이는 전역적으로 대칭을 보존하는 변형 양자화를 이끌어낸다.
• 결과를 평탄한 SU(n)-접속의 모듈리 공간에 적용하여, 히친의 접속이 액셀로드-델라 피에트라-위튼 접속과 일치함을 증명하고, 매핑 클래스 군에 대한 불변성을 갖는 심플렉틱 리브의 양자화를 얻는다.

제안 방법

• 매개수공간 T 위의 벡터장 V에 대해 ∂̄σ(G(V)σ) = 0 를 만족하는, 전량 가능하고 콱트랙트한 심플렉틱 다양체 (M,ω) 위의 강성 있는 힐베르트 구조의 가닥을 정의한다.
• 곡률 F∇ = iω/(2π) 를 갖는 전량 가능 선다발 (L, ∇) 을 사용하여, Hσ(k) = H⁰(Mσ, Lᵏ) 이 되는 힐베르트 공간을 정의하고, 이는 T × C∞(M, Lᵏ) 의 매끄러운 부분다발 H(k) 를 이룬다.
• 히친의 접속 Ĥ∇ 를 Ĥ∇V = Ĥ∇Vt − u(V) 로 정의하며, 여기서 u(V) 는 두 번째 순서 미분 연산자로, u(V)(s) = (1/(2k+n)) { (1/2)ΔG(V)(s) − ∇G(V)dF(s) + 2kV′[F]s } 이다.
• 히친의 접속이 유도하는 매끄러운 함수 위의 형식적 접속이 프로젝티브 평탄할 경우 평탄해지며, 이는 대칭을 보존하는 변형 양자화를 이끈다.
• 형식적 접속을 콤팩트 곡면 Σ 위의 평탄한 SU(n)-접속의 모듈리 공간에 적용하여, 히친의 접속이 액셀로드, 델라 피에트라, 위튼이 구성한 접속과 일치함을 보인다.
• 티히뮐러 공간의 수축 가능성과 유도된 내림차순 연산자 접속의 평탄성으로 인해 전역 트ivialization을 구성하고, 매핑 클래스 군에 대한 불변성을 갖는 매끄러운 심플렉틱 리브의 형식적 양자화를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전량 가능하고 콱트랙트한 심플렉틱 다양체 위의 강성 있는 힐베르트 가닥에 대해, 어떤 조건에서 히친의 접속이 존재하는가?
• RQ2 히친의 접속은 매끄러운 함수 위에 형식적 접속을 어떻게 유도하며, 이는 베레진-토플리츠 변형 양자화와 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 형식적 접속이 평탄해지는 조건은 무엇이며, 이는 대칭을 보존하는 변형 양자화에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 코homological 조건 하에 대수 번들의 전역 트ivialization을 구성할 수 있는가? 이는 양자화에 어떤 결과를 가져다주는가?
• RQ5 평탄한 SU(n)-접속의 모듈리 공간에서, 히친의 접속은 액셀로드-델라 피에트라-위튼 접속과 일치하는가? 그리고 이는 매핑 클래스 군에 대한 불변성을 갖는 양자화를 유도하는가?

주요 결과

• 히친의 접속은 c₁(M,ω) = n[ω] in H²(M,Z) 이고 H¹(M,R) = 0 인 조건을 만족하는, 전량 가능하고 콱트랙트한 심플렉틱 다양체 위의 강성 있는 힐베르트 가닥에 대해 항상 존재한다.
• 히친의 접속이 프로젝티브 평탄할 경우, 유도된 매끄러운 함수 위의 형식적 접속은 평탄해지며, 이는 대칭을 보존하는 형식적 양자화를 이끈다.
• H¹(Γ, C∞₀(M)) 및 H¹(M,R) 가 0 일 경우, Γ-불변인 두 Γ-불변 *-곱 사이에 Γ-불변 동치가 존재하며, 이는 자명한 교환자 조건 하에서 양자화의 유일성을 암시한다.
• 콤팩트 곡면 위의 평탄한 SU(n)-접속의 모듈리 공간에서 히친의 접속은 액셀로드, 델라 피에트라, 위튼이 구성한 접속과 일치한다.
• 유도된 엔도모르피즘 번들의 접속은 평탄하며, 티히뮐러 공간의 수축 가능성으로 인해 대수 번들의 전역 트ivialization이 구성된다.
• 결과적으로, 평탄한 SU(n)-접속의 모듈리 공간의 각 매끄러운 심플렉틱 리브에 대해 매핑 클래스 군에 대한 불변성을 갖는 형식적 변형 양자화를 얻는다.