[논문 리뷰] Hochschild (co)homology and Koszul duality

Estanislao Herscovich|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 09.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 17인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 애덤스 연결된 증분된 dg 대수와 그 코스즈 듀얼 사이의 이중성을 확립하며, 코스즈 대수의 호크시ลด 호모로지와 코호모로지가 그 코스즈 듀얼의 것과 이중임을 보여준다. 이는 $A_\infty$-코알제브라와 트위스팅 코체인을 사용하여 호크시ลด (코)호모로지의 그레이드 대수적 구조를 계산하는 일반적인 방법을 제공하며, $A_\infty$-대수의 준동형을 통해 다중-코스즈 및 비-코스즈 대수로 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this article we discuss two different but related results on Hochschild (co)homology and the theory of Koszul duality. On the one hand, we prove essentially that the Tamarkin-Tsygan calculus of an Adams connected augmented dg algebra and of its Koszul dual are dual. This uses the fact that Hochschild cohomology and homology may be regarded as a twisted construction of some natural (augmented) dg algebras and dg modules over the former. In particular, from these constructions it follows that the computation of the cup product on Hochschild cohomology and cap product on Hochschild homology of a Koszul algebra is directly computed from the coalgebra structure of the Tor(k,k) group (the first of these results is proved differently by R.-O. Buchweitz, E. Green, N. Snashall and O. Solberg). We even generalize this situation by studying twisting theory of A_infinity-algebras to compute the algebra structure of Hochschild cohomology of more general algebras.

연구 동기 및 목표

• 애덤스 연결된 증분된 dg 대수와 그 코스즈 듀얼 사이의 타마르킨-츠이간 계산법 간의 이중성을 확립한다.
• 호크시ลด 코호모로지의 그레이드 대수적 구조를 계산하기 위한 일반적인 방법을 $A_\infty$-코알제브라와 트위스팅 코체인을 사용하여 제공한다.
• 준동형을 통한 $A_\infty$-대수의 준동형을 사용하여 기존의 코스즈 대수에 대한 결과를 다중-코스즈 및 비-코스즈 대수로 일반화한다.
• 코스즈 대수의 호크시ลด 코호모로지와 호모로지가 그 코스즈 듀얼의 것과 겹치는 게르스텐하버 대수와 모듈로 이sov모르피즘임을 보인다.
• 호크시ลด (코)호모로지의 컵 곱과 캡 곱의 계산을 $\operatorname{Tor}_\bullet^A(k,k)$의 코알제브라적 구조를 통해 일반화한다.

제안 방법

• 트위스팅 코체인 $\tau$를 사용하여 대수 $A$의 호크시ลด 코체인 복합체를 $\mathcal{H}om^\tau(C,A)$ 복합체와 연결하며, 여기서 $C$는 바르 구조 $B^+(A)$와 준동형인 최소 증분된 $A_\infty$-코알제브라이다.
• $\mathcal{H}om^\tau(C,A)$와 $A$의 호크시ลด 코체인 복합체 사이의 $A_\infty$-대수의 준동형을 구성하여 코호모로지에 대해 동형을 유도한다.
• dg 대수의 트위스트를 사용하여 $A$-이중모듈로로 보는 최소 프로젝티브 해체를 $C$ 위의 $A_\infty$-코알제브라적 구조와 연결한다.
• $C$의 그레이드 쌍대 $C^\#$를 사용하여 $E(A)$와 동일시함으로써 $HH^\bullet(\cdot)$와 $HH_\bullet(\cdot)^\#$ 사이의 이중성 진술을 가능하게 한다.
• $C = \operatorname{Tor}_\bullet^A(k,k)$가 증분된 $A_\infty$-코알제브라임을 이용하고, $A$가 코스즈일 경우 그 미분이 0이 되므로 계산을 단순화한다.
• $A_\infty$-구조를 $C$에 적용하고 $\mathcal{H}om^\tau(C,A)$에 유도된 곱 $m_2$를 사용하여 비-코스즈 대수로 호크시ลด 코호모로지의 컵 곱 계산을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코스즈 대수의 호크시ลด 코호모로지의 대수적 구조는 $\operatorname{Tor}_\bullet^A(k,k)$의 코알제브라적 구조로부터 어떻게 계산될 수 있는가?
• RQ2 단순 연결성 조건 없이도 대수의 타마르킨-츠이간 계산법과 그 코스즈 듀얼 사이에 이중성이 존재하는가?
• RQ3 호크시ลด (코)호모로지의 컵 곱과 캡 곱은 $\operatorname{Tor}_\bullet^A(k,k)$의 $A_\infty$-코알제브라적 구조를 통해 계산될 수 있는가?
• RQ4 일반적인 $A_\infty$-코알제브라 $C$에 대해 트위스팅 코체인은 호크시ลด 코체인 복합체와 $\mathcal{H}om^\tau(C,A)$를 어떻게 연결하는가?
• RQ5 코스즈 대수에 대한 결과는 $A_\infty$-구조를 사용하여 다중-코스즈 또는 비-코스즈 대수로 어떻게 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 애덤스 연결된 증분된 dg 대수 $A$와 그 코스즈 듀얼 $E(A)$의 타마르킨-츠이간 계산법은 이중이며, $HH^\bullet(\cdot)$와 $HH_\bullet(\cdot)^\#$는 게르스텐하버 대수와 모듈로 이중이다.
• $\mathcal{H}om^\tau(C,A)$와 $A$의 호크시ลด 코체인 복합체 사이의 $A_\infty$-대수의 준동형이 존재하며, 이는 코호모로지에 대해 그레이드 대수의 동형을 유도한다.
• $HH^\bullet(A)$ 위의 그레이드 대수적 구조는 $C$가 $B^+(A)$와 준동형인 최소 증분된 $A_\infty$-코알제브라일 때 $\mathcal{H}om^\tau(C,A)$ 위의 곱 $m_2$를 통해 명시적으로 계산된다.
• 호크시ลด 호모로지 $HH_\bullet(A)$는 $A \otimes^\tau C$의 호모로지와 $HH^\bullet(A)$-모듈로 이sov모르픽하며, 이는 $A_\infty$-이중모듈로의 준동형을 통해 유도된다.
• 이 방법은 [XX]의 주요 결과에 대한 새로운 증명을 제공하며, [HeL]의 $A_\infty$-코알제브라의 쌍대를 사용하고 부호 관례를 조정한다.
• 이 틀은 $\operatorname{Tor}_\bullet^A(k,k)$의 $A_\infty$-코알제브라적 구조를 사용하여 다중-코스즈 대수와 더 일반적인 대수로 적용되며, 미분이 0이 아닐 경우에도 적용 가능하다.