[논문 리뷰] Hochschild Cohomology, Modular Tensor Categories, and Mapping Class Groups

Simon Lentner, Svea Nora Mierach외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 14.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 50인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한한 모듈라 텐서 카테고리의 호크시ลด 코homology 위에 매핑 클래스 군의 프로젝티브 작용을 유도 함수의 구성에 의해 확립한다. 보조 경계 성분에 단위 대상의 프로젝티브 해체를 삽입함으로써, 그 코homology가 매핑 클래스 군의 작용을 지닌 코チェ인 복합체를 구성한다. 이는 토러스와 인수 가능 레이븐 리브라 히프 알제브라의 경우 기존 결과를 특수한 경우로 복원한다.

ABSTRACT

Given a finite modular tensor category, we associate with each compact surface with boundary a cochain complex in such a way that the mapping class group of the surface acts projectively on its cohomology groups. In degree zero, this action coincides with the known projective action of the mapping class group on the space of chiral conformal blocks. In the case that the surface is a torus and the category is the representation category of a factorizable ribbon Hopf algebra, we recover our previous result on the projective action of the modular group on the Hochschild cohomology groups of the Hopf algebra.

연구 동기 및 목표

• 비단순 설정에서 카이랄 양자장 이론의 블록 위의 매핑 클래스 군의 프로젝티브 작용을 유도 코homology 군으로 일반화하기 위해.
• 기존의 인수 가능 레이븐 리브라 히프 알제브라의 호크시ลด 코homology 결과를 일반적인 유한한 모듈라 텐서 카테고리로 확장하기 위해.
• 유도 블록 공간을 이용한 매핑 클래스 군 표현을 체계적으로 구성하는 프레임워크를 제공하기 위해.
• 기본군 작용에서의 코어티션 모호성을 피하기 위해 기본점을 고정함으로써, 일반적인 위상적 장 이론 접근법보다 개선된 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 보조 경계 성분에 단위 대상의 프로젝티브 해체를 삽입하여, 블록 공간의 유도 함수로부터 코체인 복합체를 구성하기 위해.
• 덮개 환형사상을 사용하여 보조 경계를 닫고, 그 코homology가 이 연산에 대해 불변임을 보이기 위해.
• 비르만 정확수열을 적용하여, 보조 경계가 있는가 없는가에 따라 표면의 매핑 클래스 군을 연결하기 위해.
• 블록 공간의 함자성에 기반하여, 코homology 위에 매핑 클래스 군의 프로젝티브 작용을 유도하기 위해.
• 역원을 통한 체인 사상에 의해 다양한 이중모듈러 스타일의 호크시ลด 코homology 군 간의 동형을 확립하기 위해.
• 모듈라 군 작용에 대한 동형의 등변성을 증명하여, 프로젝티브 표현과의 호환성을 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비단순 카테고리에서 카이랄 양자장 블록 위의 매핑 클래스 군의 프로젝티브 작용을 고차 코homology 군으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 모듈라 텐서 카테고리의 블록 공간의 유도 함수가 매핑 클래스 군의 일관된 프로젝티브 작용을 지닐 수 있는가?
• RQ3 인수 가능 레이븐 리브라 히프 알제브라의 호크시ลด 코homology와 그 표현 카테고리의 유도 블록 공간 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 보조 경계 성분에 프로젝티브 해체를 삽입함으로써, 코homology 위에서 매핑 클래스 군 작용이 어떻게 유지되는가?
• RQ5 HH^m(A, A)와 HH^m(A, Lε) 위의 모듈라 군의 프로젝티브 표현은 서로 동형이며, 만약 그렇다면 그 동형은 어떻게 실현되는가?

주요 결과

• 유도 블록 공간 구성의 코homology 군은 매핑 클래스 군의 프로젝티브 작용을 지닌다. 이는 제로 차수에서 알려진 카이랄 양자장 블록 위의 작용을 일반화한다.
• 토러스와 인수 가능 레이븐 리브라 히프 알제브라의 표현 카테고리의 경우, 유도 블록 공간은 호크시ลด 코homology 군을 복원하며, 매핑 클래스 군 작용은 HH^m(A, A) 위의 프로젝티브 SL(2,Z)-작용과 일치한다.
• 역원을 통한 이중모듈러 스위치를 통해 HH^m(A, Lε)와 HH^m(A, A) 간의 동형이 확립되며, 이 동형은 모듈라 군 작용에 대해 등변적이다.
• 공기 상태 전파 기법을 통해 도입된 보조 경계 성분은 코homology에서 일관되게 닫힐 수 있으며, 이는 매핑 클래스 군 작용의 불변성을 보장한다.
• 기본군의 기본점을 고정함으로써 기본점 코어티션 문제를 피하고, 호모토피류 위에서 더 깔끔한 작용을 가능하게 한다.
• HH^m(A, Lε) 위의 프로젝티브 표현은 HH^m(A, A) 위의 표현과 동형이며, 이는 [LMSS1]에서의 이전 결과와의 일관성을 확인한다.