[논문 리뷰] Hochschild homology and the derived de Rham complex revisited

Arpon Raksit|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 06.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 고차 호모토피 이론적 구조, 예를 들어 호모토피-일致(coherent) 코체인 복합체와 필터링된 원환면 작용을 사용하여 유도된 de Rham 복합체와 Hochschild 호모로지의 Hochschild–Kostant–Rosenberg (HKR) 필터링에 대한 일반적인 성질을 수립한다. 이는 고전적인 Hochschild, 음의 순환, 주기적 순환 호모로지와 유도된 de Rham 코homology 간의 관계를 이론적으로 통합하고 재증명하는 개념적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We characterize two objects by universal property: the derived de Rham complex and Hochschild homology together with its Hochschild-Kostant-Rosenberg (HKR) filtration. This involves endowing these objects with extra structure, built on notions of "homotopy-coherent cochain complex" and "filtered circle action" that we study here. We use these universal properties to give a conceptual proof that the associated graded of the HKR filtration identifies with the derived de Rham complex, as well as to give a new construction of the filtrations on cyclic, negative cyclic, and periodic cyclic homology that relate these invariants to derived de Rham cohomology.

연구 동기 및 목표

• 유도 대수기하학에서 유도된 de Rham 복합체와 HKR-필터링된 Hochschild 호모로지의 개념적이고 일반적인 특성을 제공하는 것.
• Hochschild, 음의 순환, 주기적 순환 호모로지와 유도된 de Rham 코homology 간의 알려진 관계를 일반적 성질을 통해 통합하는 것.
• 이러한 일반적 성질을 ∞-카테고리적 설정에서 기술하기 위해 필요한 대수적 구조—호모토피-일치 코체인 복합체와 필터링된 원환면 작용—을 도입하고 발전시키는 것.
• 순환, 음의 순환, 주기적 순환 호모로지의 필터링을 새로운 개념적 방법으로 구성하여 이들이 유도된 de Rham 코homology와 관련됨을 밝히는 것.
• 이러한 일반적 구조를 사용하여 고전적 HKR 정리와 de Rham 비교 동형을 유도된 설정으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 논문은 유도된 de Rham 코homology를 고전적 de Rham 복합체의 유도된 판으로 모델링하기 위해 h⁺-미분가환 A-모듈의 개념을 도입하며, 여기서 항은 LΩⁱ_{B/A}로 대체된다.
• 유도된 de Rham 복합체는 완전한 감소하는 Z≥0-필터링을 갖는 E∞-A-대수로서, 임의의 엄격하게 가환적인 dg A-대수의 0차 항으로부터 B로의 사상의 연장성에 의해 특징지어지는 일반적 성질을 정의한다.
• Hochschild 호모로지에 필터링된 원환면 작용을 구성하며, 이는 Tate 수축과 필터링된 원환면의 유도된 이중가환bialgebra 구조를 사용한다.
• 유도된 호모로지의 궤적과 유도된 고정점의 개념을 도입하여, HKR-필터링된 Hochschild 호모로지가 S¹-고정점들을 통해 음의 순환 및 주기적 순환 호모로지와 연결됨을 밝힌다.
• 유도된 de Rham 복합체의 일반적 성질과 필터링된 원환면 작용의 구조를 사용하여 아담스 작용을 정의하고, 이를 유도된 de Rham 복합체에서 ℓ-거듭제곱 사상과 연결한다.
• 유도된 아담스 작용의 관련 그레디에이트가 h⁺-미분가환 A-대수의 {ℓ*}와 자연스럽게 동형임을 증명하며, 이는 핵심적인 호환성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 필터링된 E∞-대수와 호모토피-일치 코체인 복합체를 사용하여 ∞-카테고리적 설정에서 유도된 de Rham 복합체를 어떻게 일반적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ2 Hochschild 호모로지가 순환 호모로지와 유도된 de Rham 코homology를 연결하는 데서 수행하는 역할을 포괄하는 HKR-필터링된 Hochschild 호모로지의 정확한 일반적 성질은 무엇인가?
• RQ3 필터링된 원환면 작용과 Tate 수축은 음의 순환 및 주기적 순환 호모로지의 필터링을 개념적으로 어떻게 프레임워크화하는가?
• RQ4 Hochschild 및 음의 순환 호모로지에서의 아담스 작용은 유도된 de Rham 복합체에서의 ℓ-거듭제곱 사상과 어떤 식으로 대응하는가?
• RQ5 유도된 de Rham 복합체의 일반적 성질은 고전적 Hodge 필터링과 그 관련 그레디에이트를 어떻게 회복하는가? 이는 유도된 미분형식의 이동으로서 나타난다.

주요 결과

• 유도된 de Rham 복합체 dR∧_{B/A}는 완전한 감소하는 Z≥0-필터링을 갖는 초기 E∞-A-대수로서, 0차 그레디에이트 항이 B임을 특징으로 한다.
• HKR-필터링된 Hochschild 호모로지 HH_fil(B/A)는 필터링된 E∞-A-대수이면서 호환되는 h⁺-dg 구조와 B에서 0차 항으로의 사상이 존재하는 범주에서의 초기 대상으로 일반적으로 특성화된다.
• 필터링된 Hochschild 호모로지의 관련 그레디에이트는 h⁺-dg A-대수로서 유도된 de Rham 복합체와 동치이며, gr_i(HH_fil(B/A)) ≃ LΩ^{+•}_{B/A}[−i]이다.
• Hochschild 및 음의 순환 호모로지에서의 아담스 작용은 관련 그레디에이트에 대한 사상으로서 자연스럽게 {ℓ*}와 동형이며, 이는 유도된 de Rham 복합체에서의 ℓ-거듭제곱 사상에 대응한다.
• 음의 순환 및 주기적 순환 호모로지의 필터링은 필터링된 Hochschild 호모로지의 S¹-고정점에 의해 구성되며, 그 관련 그레디에이트는 유도된 de Rham 코homology와 일반적 성질을 통해 호환됨이 입증된다.
• 논문은 유도된 de Rham 복합체의 일반적 성질과 필터링된 원환면 작용의 구조를 기반으로 하여 Hochschild 호모로지와 유도된 de Rham 코homology 간의 고전적 비교 동형을 새로운 개념적 방법으로 증명한다.